Телескопический признак ( Признак сгущения Коши ) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши в 1821 году .

Формулировка

Пусть для членов ${\displaystyle f(n)}$ ряда выполняется:

1. последовательность ${\displaystyle \{f(n)\}}$ монотонно убывает
2. ${\displaystyle f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ — члены неотрицательны

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится или расходится одновременно с рядом ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ .

Обобщения

В 1864 году Жозеф Бертран показал, что вместо ряда ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ в данной теореме можно использовать любой ряд вида:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }m^{n}f(m^{n})}$ , где ${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,m\geq 2}$

В 1902 году Эмиль Борель ещё более расширил данную теорему, использовав вместо ряда ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ ряд вида:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}f([a]^{n})}$ , где ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,a>1}$

Здесь ${\displaystyle [a]}$ — целая часть числа ${\displaystyle a}$ .

Признак сгущения Шлёмильха

В 1873 году Оскар Шлёмильх доказал другое обобщение телескопического признака :

Пусть для членов ${\displaystyle f(n)}$ ряда выполняется:

1. последовательность ${\displaystyle \{f(n)\}}$ монотонно убывает
2. ${\displaystyle f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ — члены неотрицательны

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится или расходится одновременно с рядами ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(2n-1)\cdot f(n^{2})}$ и ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2n\cdot f(n^{2})}$ .

Признак сгущения Кноппа

В своей книге 1922 года сформулировал следующее обобщение телескопического признака.

Пусть:

1. ${\displaystyle \{f(n)\}}$ — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)
2. ${\displaystyle f(n)\geqslant 0\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ — последовательность неотрицательна
3. ${\displaystyle \{u_{n}\}}$ — некоторая строго возрастающая последовательность
4. ${\displaystyle u_{n}\in \mathbb {N} }$ (а значит, ${\displaystyle u_{n}>0}$ ) ${\displaystyle \forall n}$
5. последовательность ${\displaystyle \{r_{n}\}=\left\{{\frac {u_{n+1}-u_{n}}{u_{n}-u_{n-1}}}\right\}}$ ограничена

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится или расходится, одновременно с рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1}-u_{n})f(u_{n})}$ .

Данную теорему иногда приписывают Шлёмильху .

Например, если рассматривать последовательность ${\displaystyle u_{n}=c^{n}}$ , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном ${\displaystyle c\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ , то согласно указанной теореме ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится или расходится одновременно с рядом ${\displaystyle (c-1)\sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})}$ , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится или расходится одновременно с рядом ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c^{n}f(c^{n})}$ при любой выбранной константе ${\displaystyle c\in \mathbb {N} ,\;c\neq 1}$ .

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // . — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. -45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6 .