Диофа́нт Александри́йский ( др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; лат. Diophantus ) — древнегреческий математик , живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры ». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений . В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику , которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.

В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны .

Биография

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла ( II век до н. э. ); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский , живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

${\displaystyle x={\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4}$

Это уравнение даёт ${\displaystyle x=84}$ , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.

Арифметика Диофанта

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. Сохранились только 6 (или 10, см. ниже) первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» ( ἀριθμός ) и обозначает буквой ς , квадрат неизвестной — символом Δ ^Υ (сокращение от δύναμις — «степень»), куб неизвестной — символом Κ ^Υ (сокращение от κύβος — «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.

Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»).

Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у аль-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189, вместе с четырьмя из арабской части — 290), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений . Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные , что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.

Влияние Арифметики на развитие математики

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык (см. Куста ибн Лука ), после чего математики стран ислама ( Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли перевёл и опубликовал это сочинение на латинский язык, и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики , выполненный Баше де Мезириаком .

Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма ; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком , он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма .

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики . И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин , проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия . Однако существенный разрыв в методике решений задач первых трёх и последних трёх книг хорошо заполняется четырьмя книгами арабского перевода. Это заставляет пересмотреть результаты предыдущих исследований . ^{[ нет в источнике ]}

Другие сочинения Диофанта

Трактат Диофанта О многоугольных числах ( Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей ( ἐπιπεδομετρικά ) и Об умножении ( Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике .

См. также

• Диофантово уравнение
• Математика в Древней Греции

Примечания

Литература

Сочинения:

• от 19 марта 2019 на Wayback Machine
• Диофант Александрийский . от 24 апреля 2007 на Wayback Machine / Пер. И. Н. Веселовского; Ред. и коммент. И. Г. Башмаковой. — М.: Наука, ГРФМЛ, 1974 . — 328 стр. — 17500 экз.
• Sesiano J. Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic translation attributed to Qusṭā ibn Lūqā / Jacques Sesiano . — Heidelberg: Springer-Verlag, 1982. (Арабский текст и английский перевод)
• Диофант. «Арифметика» — начато издание в серии « Collection Budé » ( от 4 марта 2016 на Wayback Machine 2 тома: Кн. 4 — 7).

Исследования:

• Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта // Историко-математические исследования . — М., 1978. — Вып. XXIII. — С. 192—225.
• Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых: (От Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. — 1975. — Вып. 20. — С. 104—124.
• Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972 (Репринт.: М.: ЛКИ, 2007). Пер. на нем. яз.: Diophant und diophantische Gleichungen . — Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Пер. на англ. яз.: Diophantus and Diophantine Equations / Transl. by A. Shenitzer with the editorial assistance of H. Grant and updated by J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. — № 20. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997.
• Башмакова И. Г. Диофант и Ферма: (К истории метода касательных и экстремумов) // Историко-математические исследования. — М., 1967. — Вып. VII. — С. 185—204.
• Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984.
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. — 28 ноября 2012 года. / Под ред. А. П. Юшкевича . — М.: Наука, 1970.
• Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки // Историко-математические исследования. — М., 1975. — Вып. 20. — С. 63 — 103.
• Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? // Историко-математические исследования. — М., 2003. — Вып. 8 (43). — С. 267—277.
• Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. — Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964).
• Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria // Historia Mathematica. — 20. — 1993. — P. 180—192.
• Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution // Historia Mathematica. — 34. — 2007. — P. 289—305.
• Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique . — De Gruyter, 2013.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .