Кристалли́ческая решётка — вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла . Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки решётки узлами. Решёткой является совокупность точек, которые возникают из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции . Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к её параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с элементами симметрии.

Общая характеристика

В зависимости от пространственной симметрии, все кристаллические решётки подразделяются на семь кристаллических систем . По форме элементарной ячейки они могут быть разбиты на шесть сингоний . Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решётке поворотных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к делению кристаллов на 32 класса симметрии , а с учётом симметрии и скользящих плоскостей симметрии на 230 пространственных групп .

Помимо основных трансляций, на которых строится элементарная ячейка, в кристаллической решётке могут присутствовать дополнительные трансляции, называемые решётками Браве . В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная ( F ), объёмноцентрированная ( I ), базоцентрированная ( A , B или C ), примитивная ( P ) и ромбоэдрическая ( R ) решётки Браве. Примитивная система трансляций состоит из множества векторов ( a , b , c ), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций. Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора ( a , b , c , ½ ( a + b + c )), в гранецентрированную — шесть ( a , b , c , ½ ( a + b ), ½ ( b + c ), ½ ( a + c )). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A включает вектора ( a , b , c , ½ ( b + c )), B — вектора ( a , b , c , ½ ( a + c )), а C — ( a , b , c , ½ ( a + b )), центрируя одну из граней элементарного объёма. В системе трансляций Браве R дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки и в этом случае в систему трансляций R входят вектора ( a , b , c , ¹ / ₃ ( a + b + c ), — ¹ / ₃ ( a + b + c )).

Типы центрировок решёток Браве
Примитивная	Базоцентрированная	Гранецентрированная	Объёмноцентрированная	Дважды-объёмноцентрированная (Ромбоэдрическая)

Классификация решёток по симметрии

Сингонии :

• Низшая категория (все трансляции не равны друг другу)
  • Триклинная : ${\displaystyle a\neq b\neq c}$ , ${\displaystyle \alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }}$
  • Моноклинная : ${\displaystyle a\neq b\neq c}$ , ${\displaystyle \alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }}$
  • Ромбическая : ${\displaystyle a\neq b\neq c}$ , ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$

• Средняя категория (две трансляции из трёх равны между собой)
  • Тетрагональная : ${\displaystyle a=b\neq c}$ , ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$
  • Гексагональная : ${\displaystyle a=b\neq c}$ , ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ }}$
  • Тригональная : ${\displaystyle a=b=c}$ , ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma <120^{\circ }\neq 90^{\circ }}$

• Высшая категория (все трансляции равны между собой)
  • Кубическая : ${\displaystyle a=b=c}$ , ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ }}$

Сингония	Тип центрировки ячейки Браве
	примитивная	базо- центрированная	объёмно- центрированная	гране- центрированная	дважды объёмно- центрированная
Триклинная ( параллелепипед )
Моноклинная ( призма с параллелограммом в основании)
Ромбическая ( прямоугольный параллелепипед )
Тетрагональная ( прямоугольный параллелепипед с квадратом в основании)
Гексагональная ( призма с основанием правильного центрированного шестиугольника)
Тригональная (равносторонний параллелепипед — ромбоэдр )
Кубическая ( куб )

Объём ячейки

Объём элементарной ячейки в общем случае вычисляется по формуле:

${\displaystyle {\mathsf {V=abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}}}}$

Примечания

Литература

• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 3-е, доп. — М. : Наука , 1976. — 584 с. — (« Теоретическая физика », том V). — Глава XIII
• Н. Ашкрофт, Н. Мермин Физика твёрдого тела. Том I.
• Ф. Ф. Греков, Г. Б. Рябенко, Ю. П. Смирнов Структурная кристаллография — Л.:издательство ЛГПИ, 1988.

Ссылки