Ко́нус (через нем. Konus и лат. cōnus , от др.-греч. κώνος — «сосновая шишка» ) — поверхность , образованная в пространстве множеством лучей (образующих конуса), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса) .

Если направляющая конуса — замкнутая кривая, то коническая поверхность служит границей пространственного тела , которое также называют «конусом» (см. рисунок), а внутренность этой кривой называют «основанием конуса», если основание конуса представляет собой многоугольник , такой конус является пирамидой .

Иногда вместо лучей рассматривают прямые, тогда получается двойной конус, состоящий из двух симметричных относительно вершины частей.

Конус и связанные с ним конические сечения играют большую роль в математике, астрономии и других науках.

Связанные определения

• Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
• Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Типы конусов

• 
  Прямой круговой конус
• 
  Прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: их объём одинаков
• 
  Усечённый прямой круговой конус

• Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом ) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
• Косой (или наклонный ) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Конус вращения , или прямой круговой конус (часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением (то есть тело вращения ) прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет треугольника (эта прямая является осью конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом : последние два имеют бесконечный объём.
• Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
• Равносторонний конус — конус вращения, образующая которого равна диаметру основания .

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

${\displaystyle V={1 \over 3}SH,}$

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

${\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),}$

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна

${\displaystyle S=\pi Rt,}$

а в общем случае

${\displaystyle S={\frac {tl}{2}},}$

где R — радиус основания, ${\displaystyle t={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}$ — длина образующей, ${\displaystyle l}$ — длина границы основания.

Полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания) равна

${\displaystyle S=\pi R(t+R),}$

для прямого кругового конуса и

${\displaystyle S={\frac {tl}{2}}+S_{\text{ос}},}$

для произвольного, где ${\displaystyle S_{\text{ос}}}$ — площадь основания.

• Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

${\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}$

• Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:

${\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}$

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, ${\displaystyle H}$ — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.

• Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

${\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом , параболой или гиперболой , в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение прямого кругового конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz :

• В сферической системе координат с координатами ( r , φ, θ) :

${\displaystyle \theta =\Theta .}$

• В цилиндрической системе координат с координатами ( r , φ, z ) :

${\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta }$ или ${\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}$

• В декартовой системе координат с координатами ( x , y , z ) :

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .}$

Это уравнение в каноническом виде записывается как

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}$

где константы a , с определяются пропорцией ${\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .}$ Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность ). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz ) её уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}$

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением ${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$ где функция ${\displaystyle f(x,y,z)}$ является однородной , то есть удовлетворяющей условию ${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)}$ для любого действительного числа α .

Развёртка

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора ${\displaystyle \varphi }$ в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·( r / l ) .

Вариации и обобщения

• В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество ${\displaystyle K}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$ , для которого для любого ${\displaystyle \lambda \in F}$

  ${\displaystyle \lambda K=K.}$

• В топологии конус над топологическим пространством X есть факторпространство ${\displaystyle X\times [0,\infty )}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (x,0)\sim (y,0).}$
• В линейной алгебре есть понятие выпуклого конуса .

См. также

• Коническая поверхность
• Коническое сечение
• Конус (топология)
• Световой конус

Примечания

Литература

• Корн Г., Корн Т. . — 2-е изд. — М. : Наука, 1970. — 720 с.
• Конус // . — М. : Советская энциклопедия, 1988. — С. . — 847 с.