Interested Article - Шар

Шар
Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар геометрическое тело ; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии , не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара . Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра . Этот диаметр называется осью шара , а оба конца указанного диаметра полюсами шара . Поверхность шара называется сферой : замкнутый шар включает эту сферу , открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом . Другие плоские сечения шара называются малыми кругами . Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности и объём шара радиуса (и диаметром ) определяются формулами:

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии .

Определения

Пусть дано метрическое пространство . Тогда

  • Шаром (или открытым шаром ) с центром в точке и радиусом называется множество
  • Замкнутым шаром с центром в и радиусом называется множество

Замечания

Шар радиуса с центром также называют -окрестностью точки .

Свойства

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n -мерном евклидовом пространстве:

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел ). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

,
.

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал .

Эти формулы также можно свести в одну общую:

.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

,
.

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции . Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n -мерного шара через объём шара размерности (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

.

Также существует формула объёма n -мерного шара в зависимости от объёма ( n −1)-мерного шара того же радиуса:

.

То же без гамма-функции:

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Пространства старших размерностей

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры

  • если (пространство — прямая ), то
— открытый и замкнутый отрезок соответственно.
  • если (пространство — плоскость ), то
— открытый и замкнутый диск соответственно.
  • если , то
— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
  • В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:
Тогда
  • если , то — это открытый квадрат с центром в точке и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.
  • если , то — это открытый трёхмерный октаэдр .

См. также

Примечания

  1. Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. от 10 июня 2010 на Wayback Machine , Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Литература

  • // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы

  • . Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из 8 августа 2011 года.
  • . Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из 9 января 2019 года.
  • . Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара
Источник —

Same as Шар