Центр окружности девяти точек — одна из замечательных точек треугольника . Её часто обозначают как ${\displaystyle O_{9}}$ .

Окружность девяти точек , или окружность Эйлера, проходит через девять важных точек треугольника — середины сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Центр этой окружности указан как точка X(5) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга .

Свойства

• Центр окружности девяти точек ${\displaystyle O_{9}}$ лежит на прямой Эйлера треугольника посредине между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ . Центроид ${\displaystyle M}$ также лежит на этой линии на расстоянии 2/3 от ортоцентра к центру описанной окружности , так, что

${\displaystyle O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.}$

Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.

• Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера , показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности — это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольник .
• Расстояние от центра окружности девяти точек до инцентра ${\displaystyle I}$ удовлетворяет формулам:

${\displaystyle IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,}$

${\displaystyle IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,}$

${\displaystyle 2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,}$

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Центр окружности девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника , ортотреугольника и треугольника Эйлера . Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек.
• Центр окружности девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентра .
• Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
• Таким образом, центр окружности девяти точек служит центром симметрии , переводящим серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) .
• Согласно теореме Лестера центр окружности девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности .

• Точка Косниты треугольника, связанная с теоремой Косниты , изогонально сопряжена центру окружности девяти точек . (см. рис.)
• Прямая ${\displaystyle X(485)X(486)}$ , проходящая через две точки Вектена ${\displaystyle X(485)}$ и ${\displaystyle X(486)}$ , пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника ${\displaystyle ABC}$ .

Координаты

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек равны :

${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)}$

${\displaystyle =\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B}$

${\displaystyle =\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B}$

${\displaystyle =bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.}$

Барицентрические координаты центра равны :

${\displaystyle a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)}$

${\displaystyle =a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}~.}$

Примечания

Литература

• Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67 , вып. 3 . — JSTOR .
• Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7 .
• Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.
• Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (Latin) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11 .
• Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // American Mathematical Monthly . — 1984. — Т. 91 , вып. 5 . — JSTOR .
• William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11 .
• Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 .

• Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Vol. 7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .