Алгебраически замкнутое поле — поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ , в котором всякий многочлен ненулевой степени над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ имеет хотя бы один корень .

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание , то есть его алгебраическое расширение , являющееся алгебраически замкнутым. При этом существование алгебраического замыкания существенно зависит от аксиомы выбора : существуют модели теории множеств без аксиомы выбора, где есть поля, не обладающие алгебраическим замыканием.

Свойства

• В алгебраически замкнутом поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ каждый многочлен степени ${\displaystyle n}$ имеет ровно ${\displaystyle n}$ (с учётом кратности) корней в ${\displaystyle \mathbb {K} }$ . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ имеет степень ${\displaystyle 1}$ . См. также теорема Безу .
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен ${\displaystyle x^{m}-x}$ , где ${\displaystyle m}$ — количество элементов поля. Корнями данного многочлена являются все элементы поля. Если к нему прибавить ${\displaystyle 1}$ , то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ в его расширении ${\displaystyle \mathbb {K} '}$ называется поле всех алгебраических над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ элементов ${\displaystyle \mathbb {K} '}$ . Алгебраическое замыкание поля в алгебраически замкнутом поле является алгебраически замкнутым, и более того, его алгебраическим замыканием.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел . Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры .
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел .
• Алгебраическим замыканием конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ является поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{\infty }}}$ .
• Алгебраическое замыкание поля рациональных дробей ${\displaystyle \mathbb {K} (X)}$ называется полем алгебраических функций . Элементы такого поля функциями в обычном смысле не являются, однако такое название довольно часто встречается в литературе.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Конструкция

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином .

Пусть задано поле ${\displaystyle \mathbb {K} }$ . Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим ${\displaystyle F\subset \mathbb {K} [x]}$ как множество всех неприводимых многочленов над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$ . Каждому многочлену поставим в соответствие переменную ${\displaystyle x_{f}}$ . Обозначим за ${\displaystyle X}$ множество всех таких переменных ${\displaystyle X=\{x_{f}|f\in F\}}$ . Образуем кольцо многочленов ${\displaystyle \mathbb {K} [X]}$ . Можно показать, что идеал ${\displaystyle I}$ , порождённый всеми многочленами вида ${\displaystyle f(x_{f})}$ , не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу ${\displaystyle I'}$ , содержающему идеал ${\displaystyle I}$ (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле ${\displaystyle \mathbb {K_{1}} =\mathbb {K} [X]/I'}$ . Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем ${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} }$ .

На поле ${\displaystyle \mathbb {K_{1}} }$ можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю ${\displaystyle \mathbb {K} }$ по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля ${\displaystyle \mathbb {K_{1}} }$ и получим поле ${\displaystyle \mathbb {K_{2}} }$ . Повторяя это ${\displaystyle n}$ раз можно получить поле ${\displaystyle \mathbb {K_{n}} }$ . Таким образом, мы имеем башню полей :

${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n}} \subset \mathbb {K_{n+1}} \subset \ldots }$

Объединение всех этих полей даст поле ${\displaystyle \mathbb {K_{\infty }} =\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n}} }$ . Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.

См. также

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)

Примечания