Interested Article - Технологическое множество

Технологическое множество — понятие, используемое в микроэкономике , формализующее множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции.

Определение

Пусть в экономике имеется $N$ $N$ благ. В процессе производства из них $n$ $n$ благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) $x$ $x$ (размерность вектора $n$ $n$ ). Другие $m=N-n$ $m=N-n$ благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора — $m$ $m$ ). Обозначим вектор этих благ $y$ $y$ . Тогда вектор $z=(-x,y)$ $z=(-x,y)$ (размерность — $N$ $N$ ) называется вектором чистых выпусков . Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество . Фактически это некоторое подмножество пространства $R^{N}$ $R^{N}$ .

Свойства

Непустота : технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
Допустимость бездеятельности : нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
Замкнутость : технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
Свобода расходования : если данный вектор $z$ $z$ принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор $z'\leqslant z$ $z'\leqslant z$ . Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
Отсутствие «рога изобилия» : из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
Необратимость : для любого допустимого вектора $z$ $z$ , противоположный вектор $-z$ $-z$ не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
- Невозрастающая отдача от масштаба : для любого $\lambda \in (0;1)$ $\lambda \in (0;1)$ если z принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству.
- Неубывающая отдача от масштаба : для любого $\lambda >1$ $\lambda >1$ если z принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству.
- Постоянная отдача от масштаба : одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного $\lambda$ $\lambda$ если $z$ $z$ принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.

8. Выпуклость : для любых двух допустимых векторов $z_{1},z_{2}$ $z_{1},z_{2}$ допустимыми являются также любые векторы $\alpha z_{1}+(1-\alpha)z_{2}$ $\alpha z_{1}+(1-\alpha)z_{2}$ , где $0<\alpha \leqslant 1$ $0<\alpha \leqslant 1$ . Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.

Эффективная граница технологического множества

Допустимую технологию $z$ $z$ называют эффективной , если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии $z'\geqslant z$ $z'\geqslant z$ . Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.

Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии $z$ $z$ есть эффективная технология $z'\geqslant z$ $z'\geqslant z$ . В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.

Производственная функция

Рассмотрим однопродуктовые технологии $(-x,y)$ $(-x,y)$ , где $y$ $y$ — вектор размерности $m=1$ $m=1$ , а $x$ $x$ — вектор затрат размерности $n$ $n$ . Рассмотрим множество $X$ $X$ , включающее в себя все возможные векторы затрат $x$ $x$ , таких, что для каждого $x$ $x$ существует $y$ $y$ , такой что векторы чистых выпусков $(-x,y)$ $(-x,y)$ принадлежат к технологическому множеству.

Числовая функция $f(x)$ $f(x)$ на $X$ $X$ называется производственной функцией , если для каждого данного вектора затрат $x$ $x$ значение $f(x)$ $f(x)$ определяет максимальное значение допустимого выпуска $y$ $y$ (такого, что вектор чистого выпуска (-x, y) принадлежит технологическому множеству).

Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде $(-x,f(x))$ $(-x,f(x))$ , а обратное верно в том случае, если $f(x)$ $f(x)$ является возрастающей функцией (в таком случае $y=f(x)$ $y=f(x)$ — уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства $y\leqslant f(x)$ $y\leqslant f(x)$ .

Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого $x$ $x$ множество $F(x)$ $F(x)$ допустимых выпусков при данных затратах $x$ $x$ , являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества $X$ $X$ . Если выполнено условие свободы расходования, то $f(x)$ $f(x)$ является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то $f(0)=0$ $f(0)=0$ .

Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:

$e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda }{f(x)}}|_{\lambda =1}={\frac {f'(x)x}{f(x)}}$ $e(x)={\frac {df(\lambda x)}{d\lambda }}\cdot {\frac {\lambda }{f(x)}}|_{\lambda =1}={\frac {f'(x)x}{f(x)}}$

где $f'(x)$ $f'(x)$ — вектор-градиент производственной функции.

Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то $e(x)=1$ $e(x)=1$ , если убывающей отдачи от масштаба, то $e(x)\leqslant 1$ $e(x)\leqslant 1$ , если возрастающей отдачи, то $e(x)\geqslant 1$ $e(x)\geqslant 1$ .

Задача производителя

Если задан вектор цен $p$ $p$ , то произведение $pz$ $pz$ представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора $z$ $z$ , чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим $P$ $P$ . Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен $P$ $P$ , дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы $z$ $z$ технологического множества, для которых при любом неотрицательном $\lambda$ $\lambda$ векторы $\lambda z$ $\lambda z$ также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с $R_{-}^{N}$ $R_{-}^{N}$ , то решение существует при любых положительных ценах.

Функция прибыли $\pi (p)$ $\pi (p)$ определяется как $pz(p)$ $pz(p)$ , где $z(p)$ $z(p)$ — решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть $\pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)$ $\pi (\lambda p)=\lambda \pi (p)$ и непрерывной на внутренности $P$ $P$ . Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен $P$ $P$ .

Функция (отображение) предложения $z(p)$ $z(p)$ является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности $P$ $P$ . Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.

Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как $pf(x)-wx$ $pf(x)-wx$ , где $w$ $w$ — вектор цен на факторы производства , $p$ $p$ в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности $X$ $X$ ) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме $f'(x)=w/p$ $f'(x)=w/p$ .

Если задана функция прибыли $\pi (p)$ $\pi (p)$ , являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен $p$ $p$ векторы чистых выпусков $z$ $z$ , удовлетворяющих неравенству $pz\leqslant \pi (p)$ $pz\leqslant \pi (p)$ . Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).