Точечная группа в трёхмерном пространстве

Симметрии-инволюции C s , (*) [ ] =	C nv , (*nn) [n] =	D nh , (*n22) [n,2] =
Группы многогранников , [n,3], (*n32)
Тетраэдральная симметрия T d , (*332) [3,3] =	O h , (*432) [4,3] =	I h , (*532) [5,3] =

Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.

Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A ₅ ( знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A 5 ${\displaystyle \times }$ Z 2 . Последняя группа известна также как группа Коксетера H ₃ и представляется в как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .

Как точечная группа

Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере ) с наибольшей группой симметрии .

Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией , так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп .

Шёнфлис				Абстрактная структура
I	[5,3] +		532	A 5	60
I h	[5,3]		*532	${\displaystyle A_{5}\times 2}$	120

Задания групп , соответствующие описанным выше:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника .

Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианам .

Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I ).

Визуализация

Шёнфлис ( )		Элементы	Зеркальные диаграммы
			Ортогональная	Стереографическая проекция
I h (*532)	[5,3]	Зеркальных линий: 15
I (532)	[5,3] +	Точек вращения: 12 5 20 3 30 2

Структура группы

Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.
Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.

Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A ₅ , знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на (которое вписано в двенадцатигранник ), соединение пяти октаэдров , или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).

Группа содержит 5 версий T _h с 20 версиями D ₃ (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D ₅ .

Полная икосаэдральная группа I _h имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы I _h индекса 2. Группа I _h изоморфна ${\displaystyle I\times Z_{2}}$ , или ${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$ , с центральной симметрией , соответствующей (1,-1), где Z ₂ записывается мультипликативно.

I _h действует на и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на — I действует на две хиральные половинки ( cоединения пяти тетраэдров ), а −1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S ₅ и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.

Группа содержит 10 версий D _3d и 6 версий D _5d (симметрии аналогичные антирпизимам).

I изоморфна также группе PSL ₂ (5), но I _h не изоморфна SL ₂ (5).

Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра

Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:

• S ₅ , симметрическая группа 5 элементов
• I _h , полная икосаэдральная группа (предмет данной статьи, известная также как H ₃ )
• 2 I , бинарная группа икосаэдра

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

Иными словами,

• ${\displaystyle A_{5}}$ является нормальной подгруппой группы ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$ является факторгруппой группы ${\displaystyle I_{h}}$ , которая является прямым произведением
• ${\displaystyle A_{5}}$ является факторгруппой группы ${\displaystyle 2I}$

Заметим, что ${\displaystyle A_{5}}$ имеет неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но ${\displaystyle S_{5}}$ не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.

Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$ проективная специальная линейная группа ;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$ проективная полная линейная группа ;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$ .

Классы сопряжённости

Классы сопряжённости

I	I h
Тождество ${\displaystyle 12\times }$ вращение на 72°, порядок 5 ${\displaystyle 12\times }$ вращение на 144°, порядок 5 ${\displaystyle 20\times }$ вращение на 120°, порядок 3 ${\displaystyle 15\times }$ вращение на 180°, порядок 2	Отражение ${\displaystyle 12\times }$ зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 ${\displaystyle 12\times }$ зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 ${\displaystyle 20\times }$ r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 ${\displaystyle 15\times }$ зеркальное отражение, порядок 2

Явное представление матрицами вращений

В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений ${\displaystyle I}$ , описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота . Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам ${\displaystyle (\pm 1,0,\pm \phi)}$ , где ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ является золотым сечением . Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу ${\displaystyle I_{h}}$ . Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как ${\displaystyle R_{6}}$ и ${\displaystyle R_{58}}$ , пока размер множества не перестанет расти.

${\displaystyle R_{1}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{2}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{5}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{7}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{8}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{11}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{12}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{13}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{18}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{20}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{21}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{22}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{23}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{26}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{27}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{28}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{29}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{30}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle R_{31}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{32}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{33}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{34}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{35}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{38}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{39}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{40}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{41}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{43}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{48}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{49}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{50}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{53}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{54}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{56}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{59}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle R_{60}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией

Шёнфлис				Г-М	Структура	Циклы	Порядок	Индекс
I h	[5,3]		*532	53 2/m	A 5 ${\displaystyle \times Z_{2}}$		120	1
D 2h	[2,2]		*222	mmm	Dih 2 ${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}=\mathrm {Dih} _{1}^{3}}$		8	15
C 5v	[5]		*55	5m	Dih 5		10	12
C 3v	[3]		*33	3m	Dih 3 =S 3		6	20
C 2v	[2]		*22	2mm	Dih 2 =Dih 1 2		4	30
C s	[ ]		*	2 or m	Dih 1		2	60
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$		24	5
D 5d	[2 + ,10]		2*5	10 m2	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{5}}$		20	6
D 3d	[2 + ,6]		2*3	3 m	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}=Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{3}}$		12	10
${\displaystyle D_{1d}=C_{2h}}$	[2 + ,2]		2*	2/m	Dih 2 = Z 2 ${\displaystyle \times \mathrm {Dih} _{1}}$		4	30
S 10	[2 + ,10 + ]		${\displaystyle 5\times }$	5	${\displaystyle Z_{10}=Z_{2}\times Z_{5}}$		10	12
S 6	[2 + ,6 + ]		${\displaystyle 3\times }$	3	${\displaystyle Z_{6}=Z_{2}\times Z_{3}}$		6	20
S 2	[2 + ,2 + ]		${\displaystyle \times }$	1	${\displaystyle Z_{2}}$		2	60
I	[5,3] +		532	532	A 5		60	2
T	[3,3] +		332	332	A 4		12	10
D 5	[2,5] +		522	522	Dih 5		10	12
D 3	[2,3] +		322	322	Dih 3 =S 3		6	20
D 2	[2,2] +		222	222	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}=Z_{2}^{2}}$		4	30
C 5	[5] +		55	5	${\displaystyle Z_{5}}$		5	24
C 3	[3] +		33	3	${\displaystyle Z_{3}=A_{3}}$		3	40
C 2	[2] +		22	2	${\displaystyle Z_{2}}$		2	60
C 1	[ ] +		11	1	${\displaystyle Z_{1}}$		1	120

Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.

Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.

Стабилизаторы вершин

Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.

• стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C ₃
• стабилизаторы вершин в I _h дают D ₃
• стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D ₃
• стабилизаторы противоположных пар вершин в I _h дают ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Стабилизаторы рёбер

Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.

• Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z ₂
• Стабилизаторы рёбер в I _h дают четверные группы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$ . Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях.
• стабилизаторы пар рёбер в I _h дают ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$ . Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей.

Стабилизаторы граней

Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы , которую они порождают.

• стабилизаторы граней в I дают циклические группы C ₅
• стабилизаторы граней в I _h дают диэдральные группы D ₅
• стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D ₅
• стабилизаторы противоположных пар граней в I _h дают ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$ .

• стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T
• стабилизаторы вписанного тетраэдра в I _h являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I _h являются копиями T _h

Фундаментальная область

Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:

икосаэдральная группа вращений I

Полная икосаэдральная группа I h

Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями

В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.

Многогранники с икосаэдральной симметрией

Хиральные многогранники

Класс	Символы	Рисунок
Архимедовы	sr{5,3}
Каталановы	V3.3.3.3.5

Полная икосаэдральная симметрия

Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Архимедовы тела
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Каталановы тела
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Другие объекты с икосаэдральной симметрией

• Структура вируса и Капсиды
• В химии ион ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) и молекула додекаэдрана (C ₂₀ H ₂₀ )

Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией

Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами , существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. Маки и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи . В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2, p ) является группой симметрии модулярной кривой X( p ). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.

Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.

Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи Кляйна . Современное описание дано в статье Тота .

Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годов (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления , ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).

Подобные геометрии случаются для групп PSL(2, n ) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют « троицу » в терминологии В. И. Арнольда , что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье « Троицы » .

Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников .

См. также

• Тетраэдральная симметрия
• Бинарная группа икосаэдра
• Икосианы

Примечания

Литература

• // Philosophical Magazine . — 1856. — Т. 12 . — С. 446 .
• Kleinert H. , Maki K. // Fortschritte der Physik. — 1981. — Т. 29 , вып. 5 . — С. 219–259 . — doi : .
• Felix Klein . Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1878. — Т. 14 , вып. 3 . — С. 428–471 . — doi : . Перевод на английский
  • On the order-seven transformation of elliptic functions // / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 978-0-521-66066-2 .
• Felix Klein . Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions) // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15 , вып. 3—4 . — С. 533–555 . — doi : .
• Felix Klein . Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree. — Trübner & Co., 1888. — ISBN 0-486-49528-0 .
• Gábor Tóth. Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli. — New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — (Universitext). — ISBN 0-387-95323-X .
• Peter R. Cromwell. . — Cambridge university press, 1997. — С. . — ISBN 9-521-55432-2 .
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — CRC Press, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Coxeter H.S.M. / edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Johnson N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups , 11.5 Spherical Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2018. — ISBN 978-1-107-10340-5 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• () Gotz Pfeiffer