Interested Article - Граф циклов (алгебра)

sigourney
  • 2020-08-21
  • 1

Граф циклов группы иллюстрирует различные циклы в группе и, в частности, используется для визуализации структуры малых конечных групп .

Цикл — это множество степеней элемента a группы, где a n , n -ая степень элемента a , определяется как произведение a на себя n раз. Говорят, что элемент a генерирует цикл. В конечной группе некоторая ненулевая степень элемента a должна быть равна нейтральному (единичному) элементу e . Наименьшая такая степень называется порядком цикла и она равна числу различных элементов в цикле. В графе циклов цикл представляется многоугольником, в котором вершины отражают элементы группы, а соединяющие вершины рёбра указывают, что вершины многоугольника являются членами одного цикла.

Циклы

Циклы могут накладываться или не иметь общих элементов, кроме единичного. Граф циклов показывает каждый цикл в виде многоугольника.

Если a генерирует цикл порядка 6 (или, более коротко, имеет порядок 6), то a 6 = e . В этом случае степени квадрата элемента a 2 , { a 2 , a 4 , e } образуют цикл, но в реальности этот факт не даёт никакой дополнительной информации. Аналогично, a 5 генерирует тот же самый цикл, что и сам a .

Таким образом, нужно рассматривать только простые циклы, а именно те, которые не являются подмножествами других циклов. Каждый из этих циклов генерируется некоторым простым элементом a . Возьмём одну вершину для каждого элемента исходной группы. Для каждого простого элемента соединим ребром e с a , a с a 2 , ..., a n −1 с a n , и т.д., пока не получим опять e . Результатом будет граф циклов.

Если a 2 = e , a имеет порядок 2 (является инволюцией ) и соединено с единичным элементом e двумя рёбрами. Кроме случаев, когда хотят подчеркнуть два ребра цикла, обычно рисуется только одно ребро.

Свойства


Dih 4 калейдоскоп с красным зеркалом и 4-кратными генераторами вращения
Граф циклов диэдральной группы Dih 4 .

В качестве примера графа циклов группы рассмотрим диэдральную группу Dih 4 . Таблица умножения этой группы показана ниже, а граф циклов показан на рисунке справа ( e показывает единичный элемент).

o e b a a 2 a 3 ab a 2 b a 3 b
e e b a a 2 a 3 ab a 2 b a 3 b
b b e a 3 b a 2 b ab a 3 a 2 a
a a ab a 2 a 3 e a 2 b a 3 b b
a 2 a 2 a 2 b a 3 e a a 3 b b ab
a 3 a 3 a 3 b e a a 2 b ab a 2 b
ab ab a b a 3 b a 2 b e a 3 a 2
a 2 b a 2 b a 2 ab b a 3 b a e a 3
a 3 b a 3 b a 3 a 2 b ab b a 2 a e

Обратим внимание на цикл e , a , a 2 , a 3 . Его можно видеть в таблице как последовательные степени a . Обратный проход тоже подходит. Другими словами, ( a 3 ) 2 = a 2 , ( a 3 ) 3 = a и ( a 3 ) 4 = e . Это поведение остаётся верным в любом цикле любой группы — цикл можно проходить в любом направлении.

Граф циклов группы кватернионов Q 8 .

Циклы, содержащие непростые значения элементов, неявно содержат циклы, не показанные в графе. Для группы Dih 4 выше мы можем нарисовать ребро между a 2 и e , поскольку ( a 2 ) 2 = e , но a 2 является частью большего цикла, так что ребро не проведено.

Может существовать неопределённость, если два цикла содержат элемент, не являющийся единичным элементом. Рассмотрим, например, группу кватернионов , граф циклов которой показан справа. Каждый элемент в среднем ряду, умноженный на себя, даёт −1. В этом случае мы можем использовать различные цвета для отражения циклов, хотя просто соглашение о симметрии будет работать так же хорошо.

Как упоминалось ранее, два ребра цикла из двух элементов обычно изображаются единственным ребром.

Обратный элемент можно найти в графе циклов следующим образом: это элемент, находящийся на том же расстоянии от единицы, но в обратном направлении.

История

Графы циклов рассматривал специалист по теории чисел Дэниел Шенкс в начале 1950-х как средство изучения мультипликативных групп колец вычетов . Шенкс первым опубликовал идею в первом издании (1962) его книги « Solved and Unsolved Problems in Number Theory » («Решённые и нерешённые проблемы теории чисел») . В книге Шенкс исследует, какие группы имеют изоморфные графы циклов и когда граф циклов планарен . Во втором издании (1978) Шенкс рассуждает о своих исследованиях групп классов идеалов и разработке алгоритма больших и малых шагов :

Графы циклов оказались полезными при работе с абелевыми группами и я использовал их часто для понимания их сложной структуры [77, стр. 852], для получения множественных связей [78, стр. 426] или выделения некоторых подгрупп [79].

Графы циклов используются в качестве учебного средства во вводном учебнике Натана Картера (Nathan Carter, 2009) « Visual Group Theory » («Наглядная теория групп») .

Графы циклов некоторых семейств групп

Некоторые виды групп имеют типичные графы:

Циклические группы Z n порядка n имеют единственный цикл, который можно нарисовать как многоугольник с n сторонами:

Z 1 Z 2 = Dih 1 Z 3 Z 4 Z 5 Z 6 =Z 3 ×Z 2 Z 7 Z 8
Z 9 Z 10 =Z 5 ×Z 2 Z 11 Z 12 =Z 4 ×Z 3 Z 13 Z 14 =Z 7 ×Z 2 Z 15 =Z 5 ×Z 3 Z 16
Z 17 Z 18 =Z 9 ×Z 2 Z 19 Z 20 =Z 5 ×Z 4 Z 21 =Z 7 ×Z 3 Z 22 =Z 11 ×Z 2 Z 23 Z 24 =Z 8 ×Z 3
Z 2 Z 2 2 = Dih 2 Z 2 3 = Dih 2 ×Dih 1 Z 2 4 = Dih 2 2

Если n является простым числом , группы вида (Z n ) m имеют ( n m − 1)/( n − 1) циклов длины n с общим единичным элементом:

Z 2 2 = Dih 2 Z 2 3 = Dih 2 ×Dih 1 Z 2 4 = Dih 2 2 Z 3 2

Диэдральные группы Dih n имеют порядок 2 n и состоят из цикла длины n и n 2-элементных циклов:

Dih 1 = Z 2 Dih 2 = Z 2 2 Dih 3 Dih 4 Dih 5 Dih 6 =Dih 3 ×Z 2 Dih 7 Dih 8 Dih 9 Dih 10 =Dih 5 ×Z 2

Дициклические группы , Dic n = Q 4n имеют порядок 4 n :

Dic 2 = Q 8 Dic 3 = Q 12 Dic 4 = Q 16 Dic 5 = Q 20 Dic 6 = Q 24

Другие прямые произведения :

Z 4 ×Z 2 Z 4 ×Z 2 2 Z 6 ×Z 2 Z 8 ×Z 2 Z 4 2

Симметрическая группа S n для любой группы порядка n содержит подгруппу, изоморфную этой группе, так что граф циклов любой группы порядка n можно найти в качестве подграфа графа циклов S n .
Смотрите пример: .

Пример: Подгруппы полной октаэдральной группы

S 4 × Z 2 A 4 × Z 2 Dih 4 × Z 2 S 3 × Z 2

является прямым произведением симметрической группы S 4 и циклической группы Z 2 .
Группа имеет порядок 48 и содержит подгруппы любого порядка, делящего 48.

В примерах ниже вершины, связанные друг с другом, расположены рядом,
Так что представленные графы циклов не являются наиболее простыми графами этих групп (сравните с графами циклов тех же групп в начале раздела).

S 4 × Z 2 (order 48) A 4 × Z 2 (order 24) Dih 4 × Z 2 (order 16) S 3 × Z 2 = Dih 6 (order 12)
S 4 (order 24) A 4 (order 12) Dih 4 (order 8) S 3 =Dih 3 (order 6)

Подобно всем другим графам графы циклов можно представить различными способами, чтобы подчеркнуть различные свойства. Два представления графа циклов группы S 4 являются примером этого.

Граф циклов группы S 4 , приведённый выше, подчёркивает наличие трёх Dih 4 подгрупп.
Эти два представления подчёркивают симметрию, которую можно видеть в перевёртывании множеств справа.

См. также

Примечания

  1. Sarah Perkins. . Birkbeck College, Malet Street, London, WC1E 7HX: School of Economics, Mathematics and Statistics (2000). Дата обращения: 31 января 2016. 31 января 2016 года.
  2. , p. 246.
  3. , с. xii.
  4. , с. 83–98, 206–208.
  5. , p. 225.
  6. .

Литература

  • Steven Skiena. §4.2.3 Cycles, Stars, and Wheels // . — Addison-Wesley, 1990. — С. -147. — ISBN 0201509431 .
  • Daniel Shanks. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. — 2nd. — New York: Chelsea Publishing Company, 1978. — ISBN 0-8284-0297-3 .
  • Sriram Pemmaraju, Steven S. Skiena. §6.2.4 Cycles, Stars, and Wheels // . — Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003. — С. pp. 248-249. — ISBN 0-521-80686-0 .
  • Nathan Carter. Visual Group Theory. — Mathematical Association of America, 2009. — (Classroom Resource Materials). — ISBN 978-0-88385-757-1 .

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

sigourney
  • 2020-08-21
  • 1
  • Tags:

Same as Граф циклов (алгебра)

The title for the last searches