В теории групп дициклическая группа Dic _n — это некоммутативная группа порядка 4n (где n>=2), являющаяся расширением циклической группы порядка 2n . Эта группа также называется обобщённой группой кватернионов и обозначается Q _{4 n} .

Имеет место точная последовательность :

${\displaystyle 1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,}$

которая означает, что Dic _n содержит нормальную подгруппу H , изоморфную C _2n . Факторгруппа Dic _n /H изоморфна C ₂ .

Определение

Дициклическая группа может быть задана как группа, порождённая элементами a и b соотношениями

• a ²ⁿ =1,
• b ² = a ⁿ ,
• b ^-1 a b = a ^-1 .

Из этих соотношений следует, что каждый элемент Dic _n может быть единственным образом записан, как a ^k b ^j , где 0 ≤ k < 2 n , j = 0 или 1. Поэтому порядок группы равен 4n .

Свойства

Центр дициклической группы Z(Dic _n ) состоит из двух элементов а ⁿ и 1. Её коммутантом является подгруппа, порождённая элементом a ² и изоморфная C _n .

Дициклическая группа и группа диэдра

Существует сходство между дициклической группой и группой диэдра Dih _2n . В этих группах имеется циклическая подгруппа A = <a>=C _2n и внутренний автоморфизм , который действует на C _2n как "отражение": int _b (a) = a ^-1 .

Замена соотношения b ² = 1 (для группы диэдра) на b ² = a ⁿ приводит к ряду отличий. Все элементы, не принадлежащие подгруппе < a >, имеют порядок 2 в группе диэдра и порядок 4 в дициклической группе. В отличие от группы диэдра дициклическая группа Dic _n не является полупрямым произведением А и < b >, так как пересечение A ∩ < b > не является тривиальным .

Дициклическая группа имеет ровно один элемент порядка 2, а именно x = b ² = а ⁿ . Этот элемент принадлежит центру группы Dic _n . Если мы добавим соотношение b ² = 1, то получим группу диэдра Dih _n . Таким образом факторгруппа Dic _n /<b ² > изоморфна группе диэдра Dih _n , содержащей 2n элементов.

Наименование группы

В математической энциклопедии, группа кватернионов — это частный случай, когда порядок группы равен степени 2. В этом случае группа является нильпотентной .

Случай 2-группы

В обобщённой кватернионной группе любая абелева подгруппа является циклической . Можно показать, что конечная p-группа c этим свойством (любая абелева подгруппа является циклической) является либо циклической, либо обобщённой кватернионной группой . Если же конечная p -группа имеет единственную подгруппу порядка p , то она либо циклическая, либо является обобщённой кватернионной группой (с порядком, равным степени двойки) . В частности, для конечного поля F нечётной характеристики 2-силовская подгруппа SL ₂ ( F ) не абелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, так что эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной группой кватернионов . Если p ^r — порядок F , где p простое, то порядок 2-силовской подгруппы SL ₂ ( F ) равен 2 ⁿ , где n = ord ₂ ( p ² - 1) + ord ₂ ( r ).

См. также

• Группа кватернионов#Обобщённая группа кватернионов

Примечания

Литература

• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп, Изд-во «Наука», 1972.
• Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. — Springer-Verlag, 1982. — ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. . — Princeton University Press, 1999. — ISBN 978-0-691-04991-5 .
• D. Gorenstein. Finite Groups. — New York: Chelsea, 1980. — ISBN 978-0-8284-0301-6 .