Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы , которые коммутируют со всеми её элементами :

${\displaystyle Z(G)=\{z\in G\mid \forall g\in G,\,zg=gz\}}$ .

Группа ${\displaystyle G}$ является абелевой в том и только в том случае, когда она совпадает со своим центром: ${\displaystyle G=Z(G)}$ ; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости» (коммутативности).

Говорят, что группа не имеет центра , если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента . Элементы центра иногда называют центральными элементами группы .

Свойства

Центр группы является её подгруппой , причем нормальной . Кроме того, эта подгруппа является характеристической , однако не обязательно .

Если факторгруппа ${\displaystyle G/Z(G)}$ является циклической , то ${\displaystyle G}$ является абелевой . В этом случае выполняется равенство ${\displaystyle G=Z(G)}$ , поэтому факторгруппа ${\displaystyle G/Z(G)}$ тривиальна.

Классы сопряжённости и централизаторы

По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.

Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G .

Внутренние автоморфизмы

Функция ${\displaystyle f:G\to \operatorname {Aut} (G)}$ , сопоставляющая элементу ${\displaystyle g\in G}$ внутренний автоморфизм ${\displaystyle \phi _{g}}$ , заданный формулой

${\displaystyle \phi _{g}(h)=ghg^{-1}}$ ,

является гомоморфизмом. Его ядро совпадает с центром группы ${\displaystyle G}$ , а образ — с группой ${\displaystyle {\rm {Inn}}(G)}$ внутренних автоморфизмов. Таким образом, согласно первой теореме об изоморфизме , факторгруппа группы ${\displaystyle G}$ по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов:

${\displaystyle G/Z(G)\cong {\rm {Inn}}(G)}$ .

Коядро гомоморфизма ${\displaystyle f}$ совпадает с группой ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$ группы ${\displaystyle G}$ . Таким образом, имеет место точная последовательность :

${\displaystyle 1\to Z(G)\to G\to \operatorname {Aut} (G)\to \operatorname {Out} (G)\to 1}$ .

Примеры

• Центр абелевой группы совпадает с самой группой.
• Центром группы Гейзенберга G являются матрицы вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

• Центр неабелевой простой группы тривиален.
• Центр диэдральной группы D _n тривиален при нечётном n . Если n чётно, центр состоит из нейтрального элемента и вращения многоугольника на 180°.
• Центр группы кватернионов ${\displaystyle Q_{8}=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}}$ — ${\displaystyle \{1,-1\}}$ .
• Центр симметрической группы S _n тривиален при n ≥ 3 .
• Центр знакопеременной группы A _n тривиален при n ≥ 4 .
• Центр полной линейной группы ${\displaystyle {\mbox{GL}}_{n}(F)}$ — это множество скалярных матриц ${\displaystyle \{sI_{n}|s\in F\setminus \{0\}\}}$ .
• Центром ортогональной группы ${\displaystyle O(n,F)}$ является ${\displaystyle \{I_{n},-I_{n}\}}$ .
• Центром мультипликативной группы ненулевых кватернионов является мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел .
• Используя можно показать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.

Центральные ряды

Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется :

${\displaystyle G_{0}=G\to G_{1}=G_{0}/Z(G_{0})\to G_{2}=G_{1}/Z(G_{1})\to \cdots }$

Ядро отображения ${\displaystyle G\to G_{i}}$ — это i -й центр группы G ( второй центр , третий центр , и так далее), и они обозначаются ${\displaystyle Z^{i}(G)}$ . Конкретно, ${\displaystyle (i+1)}$ -й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i -го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции . Объединение всех центров ряда называется .

Возрастающая последовательность подгрупп:

${\displaystyle 1\leq Z(G)\leq Z^{2}(G)\leq \cdots }$

стабилизируется на ${\displaystyle i}$ (что означает, ${\displaystyle Z^{i}(G)=Z^{i+1}(G)}$ ) тогда и только тогда , когда ${\displaystyle G_{i}}$ не имеет центра.

Например, для группы без центра все члены центрального ряда тривиальны. Или, что то же самое, ${\displaystyle Z^{0}(G)=Z^{1}(G)}$

Лемма Грюна

Если центры группы ${\displaystyle G}$ и факторгруппы ${\displaystyle G/Z(G)}$ нетривиальны, то существует нетривиальный гомоморфизм ${\displaystyle G\to Z(G)}$ .

В частности, если группа ${\displaystyle G}$ является каиновой , то центр группы ${\displaystyle G/Z(G)}$ тривиален. Или, что то же самое, ${\displaystyle Z^{1}(G)=Z^{2}(G)}$ .

См. также

• Норма (теория групп)

Примечания

Ссылки

• Michiel Hazewinkel. Centre of a group, Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2011. — ISBN 978-1-55608-010-4 .
• И. М. Виноградов. Центр // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985.
• , Ремесленников В. Н. , Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .
• Курош, А. Г . Теория групп (рус.) . — 3. — М. : Наука , 1967. — 648 с.