Внутренний автоморфизм — это вид автоморфизма группы , определённый в терминах фиксированного элемента группы, называемого сопрягающим элементом . Формально, если G — группа, а a — элемент группы G , то внутренний автоморфизм, определённый элементом a — это отображение f из G в себя, определённое для всех x из G по формуле

f ( x ) = a ⁻¹ xa .

Здесь мы используем соглашение, что элементы группы действуют справа.

Операция x ↦ a ⁻¹ xa называется сопряжением (см. также « Класс сопряжённости ») и часто представляет интерес выделить случаи, когда сопряжение с помощью одного элемента оставляет неизменным другой элемент, от случая, когда сопряжение переводит элемент в другой элемент.

Фактически, утверждение, что сопряжение x элементом a оставляет x неизменным, эквивалентно утверждению, что a и x коммутируют:

a ⁻¹ xa = x ⇔ ax = xa .

Таким образом, существование и число внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественными , служит мерилом коммутативности в группе.

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда, когда он расширяется в любой группе, содержащей G .

Обозначения

Выражение a ⁻¹ xa часто записывается в виде степени x ^a . Эта запись используется, поскольку выполняется правило ( x ^a ) ^b = x ^ab .

Свойства

Любой внутренний автоморфизм является, конечно, автоморфизмом группы G , то есть биективным отображением из G в G . Он является также гомоморфизмом , что означает ( xy ) ^a = x ^a y ^a .

Внутренний и внешний автоморфизмы групп

Композиция двух внутренних автоморфизмов снова является внутренним автоморфизмом (как упоминалось выше — ( x ^a ) ^b = x ^ab ) и набор всех внутренних автоморфизмов группы G сам по себе тоже является группой (группой внутренних автоморфизмов группы G ) и обозначается Inn( G ) .

Inn( G ) является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов Aut( G ) группы G . Out( G ) — это факторгруппа

Out( G ) ≡ Aut( G )/Inn( G )

Группа внешних автоморфизмов отражает, в некотором смысле, сколь много автоморфизмов G являются внутренними. Любой невнутренний автоморфизм даёт нетривиальный элемент группы Out( G ) , но различные невнутренние автоморфизмы могут давать одинаковые элементы группы Out( G ) .

Связывая элемент a ∈ G с внутренним автоморфизмом f ( x ) = x ^a в группе Inn( G ) как выше, получаем изоморфизм между факторгруппами G /Z( G ) (где Z( G ) — центр группы G ) и группой внутренних автоморфизмов:

G /Z( G ) = Inn( G ) .

Это является следствием первой теоремы об изоморфизмах , поскольку Z( G ) — это в точности множество тех элементов группы G , которые дают тождественное отображение, когда используются для создания внутреннего автоморфизма (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных p -групп

Результат Вольфганга Гащютца гласит, что если группа G конечна и является неабелевой p -группой , то G имеет автоморфизм порядка p в некоторой степени, не являющийся внутренним.

Открытой проблемой является вопрос, любая ли неабелева p -группа G имеет автоморфизм порядка p . Вопрос имеет положительный ответ, если G удовлетворяет одному из условий:

1. Группа G является нильпотентной класса 2
2. G является
3. G /Z( G ) является
4. Централизатор C _G группы G центра Z Φ группы G , C _G ∘Z∘Φ( G ) не равен Φ( G )

Типы групп

Группа внутренних автоморфизмов Inn( G ) тривиальна (то есть состоит только из нейтрального элемента ) тогда и только тогда, когда группа G абелева .

Легко показать, что Inn( G ) может быть циклической группой , только когда она тривиальна.

Внутренние автоморфизмы могут составлять всю группу автоморфизмов. Группа, у которой все автоморфизмы являются внутренними, а центр тривиален, называется полной . Это выполняется для всех симметрических групп с n элементами, когда n не равно 2 или 6. Если n = 6 , симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а при n = 2 симметрическая группа, хотя и не имеет внешних автоморфизмов, является абелевой, что даёт нетривиальный центр, а потому группа не может быть полной.

Пусть группа G совпадает со своим коммутантом (в англоязычной терминологии — совершенная группа ). Если группа её внутренних автоморфизмов Inn( G ) проста , то такая группа G называется .

Случай кольца

Если задано кольцо R и единица u из R , отображение f ( x ) = u ⁻¹ xu является автоморфизмом кольца R . Автоморфизмы кольца такого вида называются внутренними автоморфизмами кольца R . Эти автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы автоморфизмов кольца R .

Случай алгебр Ли

Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Ad _g , где Ad является сопряжённым отображением , а g — элемент группы Ли , алгебра которого равна 𝔊 . Обозначение внутреннего автоморфизма алгебр Ли совместимо с обозначением для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли порождает единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Примечания

Литература

• A characterization of inner automorphisms // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1987. — Т. 101 , вып. 2 . — С. 226–228 . — doi : . — JSTOR .

Литература для дальнейшего чтения

• A. Abdollahi. Powerful p -groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology // J. Algebra. — 2010. — Т. 323 . — С. 779—789 . — doi : .
• A. Abdollahi. Finite p -groups of class 2 have noninner automorphisms of order p // J. Algebra. — 2007. — Т. 312 . — С. 876—879 . — doi : .
• M. Deaconescu, G. Silberberg. Noninner automorphisms of order p of finite p -groups // J. Algebra. — 2002. — Т. 250 . — С. 283—287 . — doi : .
• W. Gaschütz. Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen // J. Algebra. — 1966. — Т. 4 . — С. 1—2 . — doi : .
• H. Liebeck. Outer automorphisms in nilpotent p -groups of class 2 // J. London Math. Soc.. — 1965. — Т. 40 . — С. 268—275 .
• В. Н. Ремесленников. Внутренний автоморфизм // Мат. Энциклопедия. — Москва, 1977. — Т. 1. — С. 724.