Interested Article - Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова

Классический непараметрический критерий согласия Крамера — Мизеса — Смирнова предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида $H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta)$ $H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta)$ с известным вектором параметров теоретического закона. В критерии $\omega ^{2}$ $\omega^2$ Крамера — Мизеса — Смирнова используется статистика вида

$S_{\omega }=n\omega _{n}^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum _{i=1}^{n}\left(F(x_{i},\theta)-{\frac {2i-1}{2n}}\right)^{2}$ $S_\omega = n\omega_{n}^{2}=\frac {1} {12n}+\sum_{i=1}^n \left(F(x_i,\theta) - \frac {2i-1} {2n} \right)^2$ ,

где $n$ $n$ — объем выборки, $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида $a1(S)$ $a1(S)$ [1].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения , то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Процентные точки распределения $a1(S)$ $a1(S)$ приведены в [1, 2].

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез вида $H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta),\theta \in \Theta \right\}$ $H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta),\theta \in \Theta \right\}$ , где оценка ${\hat {\theta }}$ ${\hat {\theta }}$ скалярного или векторного параметра распределения $F(x,\theta)$ $F(x,\theta)$ вычисляется по той же самой выборке, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения [3, 4].

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона $F(x,\theta)$ $F(x,\theta)$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе $H_{0}$ $H_{0}$ ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. также

Литература

Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики . — М.: Наука, 1983. — 416 с.
Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. — P.189-211.
Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978. — 80 с.