Interested Article - Ромбоэдр

cathleen
  • 2021-08-06
  • 2

Ромбоэдр (от ромб и др.-греч. ἕδρα — основание, грань ) — это геометрическое тело, являющееся обобщением куба , у которого грани не обязательно квадратны, а лишь являются ромбами . Ромбоэдр является параллелепипедом , в котором все рёбра равны. Ромбоэдр можно использовать для определения ромбоэдрической решётчатой системы , сот с ромбоэдрическими ячейками.

В общем случае ромбоэдр может иметь три типа ромбических граней, которые разбиваются на конгруэнтные пары противоположных сторон. Ромбоэдр имеет симметрию C i порядка 2.

Четыре точки, соответствующие несмежным вершинам ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра и все ортоцентрические тетраэдры могут быть получены таким образом .

Ромбоэдрическая решётчатая система

Ромбоэдрическая решётчатая система имеет ромбоэдрические ячейки с 3 парами уникальных ромбических граней:

В кристаллографии ромбоэдр выделен как простая форма тригональной сингонии средней категории. Минералы, имеющие форму ромбоэдра, — диоптаз , фенакит , многие минералы имеют сложные структуры с наличием ромбоэдра, например, кальцит [ источник не указан 2399 дней ] .

Частные случаи

Вид Куб Прямая ромбическая призма Ромбическая призма общего вида Ромбоэдр общего вида
Симметрия , [4,3], порядка 48 D 3d , [2+,6], порядка 12 D 2h , [2,2], порядка 8 , [2], порядка 4 C i , [2+,2+], порядка 2
Рисунок
Грани 6 квадратов 6 одинаковых ромбов Два ромба и 4 квадрата 6 ромбических граней 6 ромбических граней
  • Куб : с симметрией порядка 48. Все грани — квадраты.
  • : с симметрией D 3d порядка12. Если все острые внутренние углы граней равны (все грани одинаковы). Тело можно рассматривать как вытягивание куба вдоль главной диагонали. Например, правильный октаэдр с двумя тетраэдрами , приклеенными к противоположным граням, образуют тригональный трапецоэдр с углом 60 градусов. У тригонального трапецоэдра есть хотя бы две вершины, такие, что все прилежащие к ним углы равны между собой. Через эти вершины проходит ось симметрии третьего порядка (то есть такая ось, при повороте вокруг которой на угол 120°=2π/3 тело переходит в само себя). Более того, это является признаком тригонального трапецоэдра: параллелепипед является тригональным трапецоэдром тогда и только тогда, когда он имеет ось симметрии третьего порядка .
  • Прямая ромбическая призма : с симметрией D 2h порядка 8. Она строится из двух ромбов и 4 квадратов. Фигуру можно рассматривать как вытягивание куба вдоль диагонали на грани. Например, две треугольные призмы , соединённые по боковой грани, образуют ромбическую призму с углом 60 градусов.
  • Ромбическая призма общего вида : с порядка 4. Она имеет только одну плоскость симметрии, проходящую через четыре вершины, и имеет 6 ромбических граней.

Геометрия тела

Ромбоэдр с помеченными вершинами

Для единичного ромбоэдра (длина стороны = 1), в котором острый ромбический угол равен θ, одна вершина лежит в начале координат (0, 0, 0), а одно ребро лежит на оси x, три вектора равны

e 1 : ( 1 , 0 , 0 ) , {\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr)},}
e 2 : ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ , 0 ) , {\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr)},}
e 3 : ( cos ⁡ θ , ( cos ⁡ θ − ( cos ⁡ θ ) 2 ) sin ⁡ θ , ( 1 − 3 ( cos ⁡ θ ) 2 + 2 ( cos ⁡ θ ) 3 ) s i n θ ) . {\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{(\cos \theta -(\cos \theta)^{2}) \over \sin \theta },{{\sqrt {(1-3(\cos \theta)^{2}+2(\cos \theta)^{3})}} \over sin\theta }{\biggr)}.}

Другие координаты можно получить из сложения векторов 3 направлений, e 1 + e 2 , e 1 + e 3 , e 2 + e 3 и e 1 + e 2 + e 3.

Объём ромбоэдра, длина стороны которого равна a является упрощением формулы объёма параллелепипеда и задаётся формулой

Vol = a 3 ( 1 − cos ⁡ θ ) ( 1 + 2 cos ⁡ θ ) . {\displaystyle {\text{Vol}}=a^{3}(1-\cos \theta){\sqrt {(1+2\cos \theta)}}.}

Так как площадь основания задаётся формулой a 2 sin ⁡ θ {\displaystyle a^{2}\sin \theta } , высота ромбоэдра h задаётся формулой (объём, делённый на площадь основания)

h = a ( 1 − cos ⁡ θ ) ( 1 + 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ . {\displaystyle h={a(1-\cos \theta){\sqrt {(1+2\cos \theta)}} \over \sin \theta }.}

Рассмотрим внутренние диагонали ромбоэдра на рисунке. Три из внутренних диагоналей (BG, CF и DE) имеют одну и ту же длину. Их легко вычислить, используя координатную геометрию, если координаты каждой вершины известны. Расстояние в 3-мерном пространстве вычисляется по формуле

d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 . {\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}

Например, для единичного ромбоэдра с острым углом 72 градуса, три внутренних диагонали (BG, CF и DE) равны 1.543, а длинная диагональ (AH) равна 2.203. Объём этого ромбоэдра равен 0.8789, а высота равна 0.9242.

См. также

Примечания

  1. , с. 499–502.
  2. Ромбоэдр — статья из Большой советской энциклопедии
  3. .
  4. (неопр.) . Wolfram (17 мая 2016). Дата обращения: 17 мая 2016. 3 июня 2016 года.
  5. (неопр.) . Дата обращения: 17 мая 2016. 5 июня 2016 года.

Литература

  • L. Lines. Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. — Dover Publications, 1965.
  • N. A. Court. Notes on the orthocentric tetrahedron // American Mathematical Monthly . — 1934. — Октябрь. — JSTOR .

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

cathleen
  • 2021-08-06
  • 2

Same as Ромбоэдр

The title for the last searches