Interested Article - Сриниваса Рамануджан

Сринива́са Рамануджан Айенго́р ( ^(инф.) ; там. ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார் [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; англ. Srinivasa Ramanujan Aiyangar ; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920 ) — индийский математик.

Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел . Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p ( n ).

Биография

Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду , Мадрасское президентство , на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства . Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов . В 1889 году он перенёс оспу , но сумел выжить и выздороветь.

В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии . В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера о синусе и косинусе и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в вуз , ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега С. Нараяна Ийер и будущий секретарь Индийского математического общества Р. Рамачандра Рао .

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди . В письме Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембридж . Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана» ^{[

источник не указан 979 дней

]} . Многие математики его времени считали Рамануджана просто экзотическим явлением, опередившим развитие науки, как минимум, на 100 лет. А современные математики не перестают удивляться проницательности индийского гения, перепрыгнувшего в математику нашего времени ^{[

источник не указан 979 дней

]} .

По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз , усугублённый последствиями недоедания , истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз .

Научные интересы и результаты

Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты , квадратура круга , бесконечные ряды , гладкие числа , разбиения чисел , гипергеометрические функции , специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы , эллиптические и модулярные функции.

Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах ), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение $e$ $e$ на $\pi$ $\pi$ :

1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}.

1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {{\frac {e\cdot \pi }{2}}}}.

Математикам хорошо известна формула вычисления числа π {\displaystyle \pi } , полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора :

\pi ={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {[1103+26390k]}{(4\times 99)^{4k}}}}}.

\pi ={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{{k=0}}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {[1103+26390k]}{(4\times 99)^{{4k}}}}}}.

Уже при суммировании первых 100 элементов ( $k=100$ $k=100$ ) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:

1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\pi }}

1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\pi }}

.

1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\ldots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.

1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\ldots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди . Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}=3.

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}=3.

Доказательство

Рамануджан предложил следующее доказательство. Заметим, что

n^{2}=1+n^{2}-1

n^{2}=1+n^{2}-1

,

n^{2}=1+(n-1)(n+1)

n^{2}=1+(n-1)(n+1)

,

n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}

n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}

.

Тогда

3={\sqrt {1+2\cdot 4}}

3={\sqrt {1+2\cdot 4}}

4={\sqrt {1+3\cdot 5}}

4={\sqrt {1+3\cdot 5}}

5={\sqrt {1+4\cdot 6}}

5={\sqrt {1+4\cdot 6}}

\vdots

\vdots

Объединяя первые три равенства, получаем

3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4\cdot 6}}}}}}

3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4\cdot 6}}}}}}

.

Если продолжать процесс подстановки выражений вида $n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}$ $n={\sqrt {1+(n-1)(n+1)}}$ бесконечно, то получится формула Рамануджана.

3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4\cdot 6}}}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5\cdot 7}}}}}}}}=\cdots ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}

3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4\cdot 6}}}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+5\cdot 7}}}}}}}}=\cdots ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}

.

Позже было замечено, что это доказательство Рамануджана является неполным . Такую подстановку нельзя делать бесконечное число раз. В противном случае можно было бы предложить и другие решения. Например,

4={\sqrt {16}}={\sqrt {1+2(15/2)}}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3(221/12)}}}}=\cdots ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.

4={\sqrt {16}}={\sqrt {1+2(15/2)}}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3(221/12)}}}}=\cdots ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.

При этом, действительно, последовательность

u_{1}={\sqrt {1}}

u_{1}={\sqrt {1}}

u_{2}={\sqrt {1+2{\sqrt {1}}}}

u_{2}={\sqrt {1+2{\sqrt {1}}}}

u_{3}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1}}}}}}

u_{3}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1}}}}}}

\vdots

\vdots

u_{n}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1}}}}}}}}

u_{n}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1}}}}}}}}

имеет предел, равный 3.

Доказательство Рамануджана даёт только верхнюю оценку, показывая, что $u_{n}\leq 3$ $u_{n}\leq 3$ для любого (конечного) $n$ $n$ . Таким образом последовательность $u_{n}$ $u_{n}$ ограничена сверху. Легко проверить, что последовательность $u_{n}$ $u_{n}$ возрастает. Поэтому по теореме Вейерштрасса последовательность $u_{n}$ $u_{n}$ имеет конечный предел $\leq 3$ $\leq 3$ . Осталось показать, что он действительно равен 3. Следуя определению предела последовательности , покажем, что для любого $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ существует такое число $N$ $N$ , что $3-u_{n}<\varepsilon$ $3-u_{n}<\varepsilon$ для всех $n\geq N$ $n\geq N$ . Пусть $3-\varepsilon =3r$ $3-\varepsilon =3r$ , где $0<r=1-\varepsilon /3<1.$ $0<r=1-\varepsilon /3<1.$ Теперь покажем, что

u_{n}>3r=r{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1+(n+1)(n+3)}}}}}}}}

u_{n}>3r=r{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1+(n+1)(n+3)}}}}}}}}

.

Внесём $r$ $r$ под корни

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1}}}}}}}}>{\sqrt {r^{2}+2{\sqrt {r^{2^{2}}+3{\sqrt {r^{2^{3}}+\dotsc +n{\sqrt {r^{2^{n}}(1+(n+1)(n+3))}}}}}}}}

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dotsc +n{\sqrt {1}}}}}}}}>{\sqrt {r^{2}+2{\sqrt {r^{2^{2}}+3{\sqrt {r^{2^{3}}+\dotsc +n{\sqrt {r^{2^{n}}(1+(n+1)(n+3))}}}}}}}}

.

Заметим, что $r^{2^{i}}<1$ $r^{2^{i}}<1$ для любого $i$ $i$ . Следовательно, существует такое натуральное число $N'$ $N'$ , что для всех $n\geq N'$ $n\geq N'$

r^{2^{n}}(1+(n+1)(n+3))=r^{2^{n}}(n+2)^{2}<1

r^{2^{n}}(1+(n+1)(n+3))=r^{2^{n}}(n+2)^{2}<1

,

так как $r^{2^{n}}(n+2)^{2}\to 0$ $r^{2^{n}}(n+2)^{2}\to 0$ при $n\to \infty$ $n\to \infty$ . Таким образом, для всех $n\geq N=N'$ $n\geq N=N'$ выполняется $3-u_{n}<\varepsilon$ $3-u_{n}<\varepsilon$ .

x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}

x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3}

, где

{\begin{aligned}x&=3a^{2}+5ab-5b^{2},\\y&=5a^{2}-5ab-3b^{2},\\z&=4a^{2}-4ab+6b^{2},\\w&=6a^{2}-4ab+4b^{2}.\end{aligned}}

{\begin{aligned}x&=3a^{2}+5ab-5b^{2},\\y&=5a^{2}-5ab-3b^{2},\\z&=4a^{2}-4ab+6b^{2},\\w&=6a^{2}-4ab+4b^{2}.\end{aligned}}

e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104{,}000000177...

e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104{,}000000177...

Следующая формула верна для 0 < a < b + 1 2 :

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \dots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \dots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.

Признание и оценки

Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их» ^{[

источник не указан 688 дней

]} . Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве ( в индуизме: в мантра-йоге, медитации ) богиней (Махалакшми) ( хинди नामगिरी), почитаемой в Намаккале ( там. நாமக்கல்) .

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.

Наука ничего не выиграла от того, что отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинён малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, и мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков…

— Г. Х. Харди ^{[

источник не указан 688 дней

]}

Понятия, связанные с именем Рамануджана

Именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии . В частности:

В кинематографе

Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:

« » (2014) производства Индии;
« Человек, который познал бесконечность » (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
Амита Рамануджан, героиня сериала « 4исла », названная в честь математика.
« Умница Уилл Хантинг » (1997) производства США . Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.

Примечания

↑
↑ Srinivasa Ramanujan // (нем.) / Hrsg.: Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus ,
//
Herschfeld, Aaron (August 1935). . The American Mathematical Monthly (англ.) . 42 (7): 419—429. doi : . ISSN .
Цитата из фильма «Человек, который познал бесконечность» ( англ. The Man Who Knew Infinity) на временной шкале фильма: 1 час 25 минут.
Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М. : Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
Гиндикин С. Г. // Квант . — 1987. — № 10 . — С. 20 . 6 января 2005 года.

Литература

The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan , 1991, Robert Kanigel
Гиндикин С. Г. . — Издание третье, расширенное. — М. : МЦНМО , 2001. — ISBN 5-900916-83-9 .
Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М. : Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
Гиндикин С. Г. // Квант . — 1987. — № 10 . — С. 14 .
Аски Р. // УМН . — 1990. — Т. 45 , № 1(271) . — С. 33—76 .
Борвейн Дж., Борвейн П. // В мире науки . — 1988. — № 4 .
Левин В. И. . — М. : Знание, 1968. ()
Левин В. И. // Историко-математические исследования. — М. : Физматгиз, 1960. — Т. XIII .
Литлвуд Дж. И. Рецензия на собрание сочинений Рамануджана // Математическая смесь. — М. : Наука, 1990. — ISBN 5-02-014332-4 .
George E. Andrews , Bruce C. Berndt Ramanujan’s Lost Notebook: Part I, II, III, IV ISBN 0-387-25529-X , 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 , 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 , 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 )