Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры , обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных , линейные по каждому из аргументов.

Основные определения

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное ( ${\displaystyle n}$ -линейное) отображение :

${\displaystyle f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow W}$ ,

где ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ и ${\displaystyle W}$ – векторные пространства над определённым полем ${\displaystyle K}$ . Условие ${\displaystyle n}$ -линейности означает, строго говоря, что для каждого ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ семейство отображений

${\displaystyle (\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}:V_{k}\rightarrow W;\quad (\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}(x_{i})=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ,

зависящее от ${\displaystyle n-1}$ переменных ${\displaystyle \{x_{k}|k\neq i\}}$ как от параметров , состоит из линейных отображений . Можно также определить ${\displaystyle n}$ -линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из ${\displaystyle V_{n}}$ в векторное пространство ${\displaystyle (n-1)}$ -линейных отображений.

• 2-линейное отображение называется билинейным , 3-линейное — трилинейным . Если ${\displaystyle W}$ совпадает с полем ${\displaystyle K,}$ то отображение называется полилинейной формой .

• Полилинейная форма называется симметричной , если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов.
• Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменятся на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов ей значение не изменятся, если перестановка чётная, и изменятся на противоположное, если перестановка нечётная.
• Теорема: для каждого ${\displaystyle n>1}$ существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля ${\displaystyle K}$ ) кососимметричная ${\displaystyle n}$ -линейная форма ${\displaystyle f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow K}$ . Это — определитель матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{n}}$ .

• Возможно обобщение отображений с векторных пространств (над полями) на модули над кольцами .

Квадратичные и билинейные формы

Алгебраические формы ( однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы , но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм ( полуторалинейные , эрмитовы ). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел , теории групп ( ортогональная группа ), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли ( ), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от ${\displaystyle n}$ переменных ( ${\displaystyle n}$ — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица ${\displaystyle n\times n}$ , которая (при основном поле характеристики , отличной от 2) является симметрической , а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}}$ ,

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа ) и рассматривается ${\displaystyle [a_{1},\dots ,a_{n}]}$ как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура .

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга ${\displaystyle (2,0)}$ ). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма ${\displaystyle B}$ может быть представлена квадратичной:

${\displaystyle Q_{b}(x)=B(x,y)+B(y,x)}$

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом .

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных ${\displaystyle (B(x,y)=B(y,x))}$ и кососимметричных ${\displaystyle (B(x,y)=-B(y,x))}$ билинейных форм.

Другие примеры

Формализма

• Тензорное исчисление
• Алгебра Клиффорда

Объектов

• Поливектор
• Грассманиан

Операций

• Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

Примечания

Литература

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии . А. Л. Онищик

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М. : Наука , 1970. — 400 с.