Interested Article - Метрический тензор

Метри́ческий те́нзор , или ме́трика , — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии , посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве . Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой .

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна , то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах x 1 , x 2 , , x n {\displaystyle x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}} , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле g i j {\displaystyle g_{ij}\ } . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей i = x i {\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} :

i , j = g i j . {\displaystyle \left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.}

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

v , w = g i j v i w j {\displaystyle \left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}} ,

где v = v i i , w = w i i {\displaystyle v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}} — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора g i j {\displaystyle g^{ij}} .

В случае невырожденных метрик

g i j g j k = δ k i , {\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i},}

где δ k i {\displaystyle \delta _{k}^{i}} символ Кронекера . В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, может быть определена через тензор g i j {\displaystyle g^{ij}} , но тензор g i j {\displaystyle g_{ij}} для неё не определён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов , то есть выбором реперного поля { e i ( p ) } {\displaystyle \{e_{i}(p)\}} и матрицы g i k ( p ) = e i ( p ) , e k ( p ) {\displaystyle g_{ik}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle } .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов .

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением r {\displaystyle r} многообразия M {\displaystyle M} в евклидово пространство E {\displaystyle E} , может быть посчитана по формуле:

g = J r T J r , {\displaystyle g=J_{r}^{T}J_{r},}

где J r {\displaystyle J_{r}} означает матрицу Якоби вложения r {\displaystyle r} и J r T {\displaystyle J_{r}^{T}} транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства x i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}} , которые в этом случае можно отождествить с r x i {\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}} , определяются как

g i j = g ( x i , x j ) = r x i , r x j , {\displaystyle g_{ij}=g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right\rangle ,}

где , {\displaystyle \langle *,*\rangle } обозначает скалярное произведение в E {\displaystyle E} .

Более обобщенно

Пусть ( N , h ) {\displaystyle (N,h)} многообразие с метрикой и r : M N {\displaystyle r:M\to N} гладкое вложение. Тогда метрика g {\displaystyle g} на M {\displaystyle M} , определённая равенством

g ( X , Y ) = h ( d r ( X ) , d r ( Y ) ) {\displaystyle g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))}

называется индуцированной метрикой . Здесь d r {\displaystyle dr} обозначает дифференциал отображения r {\displaystyle r} .

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров g {\displaystyle g} подразделяется на два класса:

  • невырожденные или псевдоримановы метрики, когда det ( g i j ) 0 {\displaystyle \ \det(g_{ij})\neq 0} во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
    • Риманов метрический тензор (или риманова метрика ), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым , они имеют естественную структуру метрического пространства .
    • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика ), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым .
  • Вырожденные метрики, когда det ( g i j ) = 0 {\displaystyle \ \det(g_{ij})=0} либо det ( g i j ) = 0 {\displaystyle \ \det(g^{ij})=0} в некоторых точках.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре . В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

  • Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
  • Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием .
  • Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием .
  • Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными , если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

  • Риманов метрический тензор может быть введён на любом паракомпактном гладком многообразии.
  • Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
  • Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см.), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора | det { g i j } | {\displaystyle |\det\{g_{ij}\}|} дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина | det { g i j } | {\displaystyle {\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}} играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, | det { g i j } | {\displaystyle {\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}} входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты , используемого для вычисления смешанного произведения , векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

S = s ( x ) d Ω = s ( x ) | det { g i j } | d x 1 d x 2 d x n , {\displaystyle S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},}

где d Ω {\displaystyle d\Omega } — это элемент n {\displaystyle n} -мерного объема, а d x i {\displaystyle dx^{i}} дифференциалы координат.

  • Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

  • Метрический тензор на евклидовой плоскости:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера )
      g = [ 1 0 0 1 ] , g i j = δ i j {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}}
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В полярных координатах : ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta)}
      g = [ 1 0 0 r 2 ] {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }
  • Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса R {\displaystyle R} , вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах ( θ , φ ) {\displaystyle (\theta ,\varphi)} метрика принимает вид:
    g = [ R 2 0 0 R 2 sin 2 θ ] . {\displaystyle g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}
  • Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
    • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера )
      g = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , g i j = δ i j {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}}
    • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
    • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
    • В сферических координатах : ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi)} :
      g = [ 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 θ ] . {\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}
  • Метрика Лоренца ( Метрика Минковского ).
  • Метрика Шварцшильда

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством : пусть v T p M {\displaystyle v\in T_{p}M} — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g {\displaystyle g} на M {\displaystyle M} , мы получаем, что g ( v , ) {\displaystyle g(v,\cdot)} , то есть отображение, которое переводит другой вектор w T p M {\displaystyle w\in T_{p}M} в число g ( v , w ) {\displaystyle g(v,w)} , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) T p M {\displaystyle T_{p}^{*}M} . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию , а тот факт, что g {\displaystyle g} сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

g i j v j = v i {\displaystyle \ g_{ij}v^{j}=v_{i}} — опускание индекса для вектора,
g i j v j = v i {\displaystyle \ g^{ij}v_{j}=v^{i}} — поднятие индекса для вектора,
g i j g m n T j p q n r s = T m p q i r s {\displaystyle \ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs}=T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs}} — пример одновременного поднятия индекса j {\displaystyle j} и опускания индекса n {\displaystyle n} для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля , преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби , только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

Примечания

  1. См., например,
    • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
    • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963

Same as Метрический тензор