Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей .

Для кольца ${\displaystyle R}$ характеристикой ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R}$ называется наименьшее целое ${\displaystyle n>0}$ такое, что для каждого элемента ${\displaystyle r\in R}$ выполняется равенство:

${\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0}$ ,

а если такого числа не существует, то предполагается ${\displaystyle \mathop {\mathrm {char} } R=0}$ .

При наличии единицы в кольце ${\displaystyle R}$ характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число ${\displaystyle n}$ такое, что ${\displaystyle n\cdot 1=0}$ , если же такого ${\displaystyle n}$ не существует, то характеристика равна нулю.

Характеристики кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , поля рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ равны нулю. Характеристика кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ равна ${\displaystyle n}$ . Характеристика конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}$ , где ${\displaystyle p}$ — простое число, ${\displaystyle m}$ — положительное целое, равна ${\displaystyle p}$ .

Тривиальное кольцо с единственным элементом ${\displaystyle 0=1}$ — единственное кольцо с характеристикой ${\displaystyle 1}$ .

Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику ${\displaystyle n}$ , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля ${\displaystyle K}$ есть либо ${\displaystyle 0}$ , либо простое число ${\displaystyle p}$ . В первом случае поле ${\displaystyle K}$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , во втором случае поле ${\displaystyle K}$ содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ${\displaystyle K}$ ).

Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ и алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ .

Если ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо простой характеристики ${\displaystyle p}$ , то ${\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}}$ для всех ${\displaystyle a,b\in R}$ , ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса .

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.