Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий , области алгебраической топологии . Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами . Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания . Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами , понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как сфер и J-гомоморфизм , так и вычисление групп для малых значений параметров.

Неформальное введение

Многомерная сфера ${\displaystyle S^{n}}$ размерности ${\displaystyle n}$ — это топологическое пространство , которое можно представлять как геометрическое место точек ${\displaystyle (n+1)}$ -мерного евклидова пространства , удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности, ${\displaystyle S^{1}}$ — это окружность , а ${\displaystyle S^{2}}$ — обычная двумерная сфера .

Если ${\displaystyle X}$ — любое топологическое пространство с отмеченной точкой ${\displaystyle x}$ , то его ${\displaystyle i}$ -тая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$ — это множество отображений из ${\displaystyle S^{i}}$ в ${\displaystyle X}$ , переводящих ${\displaystyle 1}$ в ${\displaystyle x}$ , рассмотренное с точностью до гомотопий , то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности, ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ — это фундаментальная группа , то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции . В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при ${\displaystyle i\geqslant 2}$ группа ${\displaystyle \pi _{i}(X)}$ будет коммутативной .

Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы ${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})=0}$ при ${\displaystyle i<n}$ . Однако уже фундаментальная группа окружности ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z} }$ является бесконечной циклической группой . Её элементы, то есть отображения из окружности ${\displaystyle S^{1}}$ в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из ${\displaystyle n}$ -мерной сферы в себя ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z} }$ является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$ интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа .

Малые значения

Примечания

Литература

• Фоменко А. Т. , Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М. : Наука , 1989.
• Hatcher, Allen. . — Cambridge University Press , 2002. — ISBN 978-0-521-79540-1 .