Interested Article - Сегмент круга

Сегмент круга закрашен зелёным цветом

Сегме́нт кру́га , кругово́й сегмент — часть круга , ограниченная дугой окружности и её хордой или секущей .

Соотношения

Пусть R {\displaystyle R} — радиус круга, c {\displaystyle c} — длина хорды сегмента, s {\displaystyle s} — длина дуги сегмента, h {\displaystyle h} — высота сегмента, также называемая стрелкой сегмента, θ {\displaystyle \theta } — угол дуги сегмента выраженный в радианах . Размер сегмента круга однозначно задаётся любой парой этих величин и любая величина выражается через любую другую пару. Тогда:

R = s θ = h 1 cos θ 2 = d cos θ 2 = c 2 sin θ 2 = h + d = c 2 + 4 h 2 8 h = 1 2 4 d 2 + c 2 ; {\displaystyle R={\frac {s}{\theta }}={\frac {h}{1-\cos {\frac {\theta }{2}}}}={\frac {d}{\cos {\tfrac {\theta }{2}}}}={\frac {c}{2\sin {\tfrac {\theta }{2}}}}=h+d={\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4d^{2}+c^{2}}};}
s = θ R = 2 R arccos ( 1 h R ) = 2 R arccos d R = 2 R arcsin c 2 R = {\displaystyle s=\theta \cdot R=2R\arccos \left(1-{\tfrac {h}{R}}\right)=2R\arccos {\tfrac {d}{R}}=2R\arcsin {\frac {c}{2R}}=}
= θ h 1 cos θ 2 = θ d cos θ 2 = θ c 2 sin θ 2 = {\displaystyle ={\frac {\theta }{h}}}{1-\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {\theta d}{\cos {\tfrac {\theta }{2}}}}={\frac {\theta c}{2\sin {\tfrac {\theta }{2}}}}=}
= 2 ( h + d ) arccos d h + d = c 2 + 4 h 2 4 h arcsin 4 h c c 2 + 4 h 2 = {\displaystyle =2(h+d)\arccos {\tfrac {d}{h+d}}={\frac {c^{2}+4h^{2}}{4h}}}\arcsin {{\tfrac {4hc}{c^{2}+4h^{2}}}=}
= 4 d 2 + c 2 arcsin c 4 d 2 + c 2 ; {\displaystyle ={\sqrt {4d^{2}+c^{2}}}}\arcsin {{\frac {c}{\sqrt {4d^{2}+c^{2}}}};}
c = 2 R sin θ 2 = R 2 2 cos θ = 2 h ( 2 R h ) ; {\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=2{\sqrt {h(2R-h)}};}
h = R ( 1 cos θ 2 ) = R R 2 c 2 4 ; {\displaystyle h=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R-{\sqrt {R^{2}-{\tfrac {c^{2}}{4}}}};}
θ = 2 arccos d R = s R = 2 arccos R h R = 2 arcsin c 2 R . {\displaystyle \theta =2\arccos {\frac {d}{R}}={\frac {s}{R}}=2\arccos {\frac {R-h}{R}}=2\arcsin {\frac {c}{2R}}.}

Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле:

S = 1 2 R 2 ( θ sin θ ) = 1 2 R 2 ( s R sin s R ) . {\displaystyle S={\frac {1}{2}}R^{2}(\theta -\sin \theta)={\frac {1}{2}}R^{2}\left({\frac {s}{R}}-\sin {\tfrac {s}{R}}\right).}

См. также

Same as Сегмент круга