Interested Article - Ноль

Ноль ( 0 , нуль от лат. nullus — никакой ) — целое число , которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее , то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль .

Большой толковый словарь Кузнецова (2009) приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике .

Ноль в математике

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления . В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления , умножает на десять). Сравните, например, числа 4 ₁₀ и 40 ₁₀ ; 4 ₁₆ и 40 ₁₆ (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ , необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления . Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи $7,70,700.$ $7,70,700.$

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием $k$ $k$ число делится на $k^{n}$ $k^{n}$ , если оно оканчивается на $n$ $n$ нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам , другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело ). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения :

$\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ — натуральные числа, включая ноль: $\{0,1,2,3,4\dots \}$ $\{0,1,2,3,4\dots \}$ .
$\mathbb {N^{*}}$ $\mathbb {N^{*}}$ — натуральные числа без нуля: $\{1,2,3,4\dots \}$ $\{1,2,3,4\dots \}$ .

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1 . Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, $\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0}$ $\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0}$ и т. д.

Основные свойства нуля

0 — целое число .
На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа .

Отрицательные числа (красным) на числовой оси

Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число : $0/2=0$ $0/2=0$ .
Ноль не имеет знака . Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины : − 0 {\displaystyle -0} , + 0 {\displaystyle +0} , однако это не числа в обычном смысле.
Любое число при сложении с нулём не меняется: $a+0=0+a=a.$ $a+0=0+a=a.$ При вычитании нуля из любого числа получается то же число : $a-0=a$ $a-0=a$ .
Умножение любого числа на ноль даёт ноль :

a\cdot 0=0\cdot a=0.

a\cdot 0=0\cdot a=0.

При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

0/a=0

0/a=0

при

a\neq 0.

a\neq 0.

Деление на ноль

Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце , включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить

{\frac {a}{0}}=b

{\frac {a}{0}}=b

, то по определению деления формально должно быть

b\cdot 0=a

b\cdot 0=a

, в то время как выражение

b\cdot 0

b\cdot 0

, при любом

b

b

, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости , его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций

Факториал нуля по соглашению принят равным единице: $0!=1$ $0!=1$ . При таком соглашении тождество $n!=(n-1)!\cdot n$ $n!=(n-1)!\cdot n$ будет верно и при $n=1.$ $n=1.$
Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: $0^{a}=0$ $0^{a}=0$ при $a>0$ $a>0$ . Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} .
- Выражение $0^{0}$ $0^{0}$ ( ноль в нулевой степени ) принято считать лишённым смысла , то есть неопределённым.

Связано это с тем, что функция двух переменных

x^{y}

x^{y}

в точке

\{0,0\}

\{0,0\}

имеет неустранимый разрыв .

В самом деле, вдоль положительного направления оси

X,

X,

где

y=0,

y=0,

она равна единице, а вдоль положительного направления оси

Y,

Y,

где

x=0,

x=0,

она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени .

Ноль в геометрии

Точку можно рассматривать как нульмерный объект .
Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат .
Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности .
На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

При вычислении предела отношения $(a/b)$ $(a/b)$ , где $a\rightarrow 0$ $a\rightarrow 0$ и $b\rightarrow 0$ $b\rightarrow 0$ , возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение $(0/0)$ $(0/0)$ , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $\left({\frac {0}{0}}\right)$ , $(0^{0})$ $(0^{0})$ , $(\infty ^{0})$ $(\infty ^{0})$ , $(0\cdot \infty)$ $(0\cdot \infty)$ .
Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:

Правый предел: $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }$ .
Левый предел: $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }$ .

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом , иногда — аддитивным нулём , чаще всего — нулём относительно сложения . Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица . (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу , или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле . Например, квадратная нулевая матрица размера $n\times n$ $n\times n$ является нулевым элементом кольца квадратных матриц $M_{n}(R)$ $M_{n}(R)$ . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен , $p(x)\equiv 0$ $p(x)\equiv 0$ .

Ноль в информатике и вычислительной технике

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему , то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод .

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О , что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация : $\emptyset$ $\emptyset$ . Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ « Минск-32 » перечёркивали букву О , а не нуль . Знакогенераторы многих текстовых терминалов , видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля) . На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в центре. Визуальное различие цифры 0 от буквы О остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам . В пропорциональных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀). Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero .

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие « машинного нуля » — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив $M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.$ $M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.$ Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic , который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL -базах данных поле может иметь специальное значение NULL , которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике $-0=+0=0$ $-0=+0=0$ ; то есть $-0,+0$ $-0,+0$ представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде ) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование) . На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

Десятичное представление	Двоичное представление (8 бит)
Десятичное представление	прямой	обратный	дополнительный
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111	0000 0000

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя- шумеры , вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту .

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему) . Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года до н. э.

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность , так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину» . Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау .

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу , основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских ( Диего Гонсалес Ольгин , 1608) словарях и первом аймара-испанском ( Лудовико Бертонио , 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом śūnyaḥ («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском « манускрипте Бакхшали » от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии śūnya-binduḥ «точка пустоты» .

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра , шифр , и итал. zero , ноль), она попала в Западную Европу .

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе ( Стамбуле ), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой . В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus . В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско , написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется « thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili » — тэта , или тека , или кружок , или цифра , или знак ничего . Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478) .

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей « Арифметике » называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется « низачто ». В конце XVIII века во втором русском издании « Сокращения первых оснований математики » X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой . В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется « оном » вследствие сходства с буквой о .

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц .

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из « иероглифов императрицы У Цзэтянь ».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон , от др.-греч. οὐδέν — ничего ); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики .

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера .

См. также

Примечания

↑ Д. Э. Розенталь . от 12 января 2015 на Wayback Machine М.: ЧеРо, 1999.
.
Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 3. — С. 1082.
Нуль // Большой Энциклопедический словарь (рус.) . — 2000.
Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.

— Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.
Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (англ.) . — Courier Dover Publications , 1976. — P. 254—255. — ISBN 0-486-13968-9 . 22 января 2023 года. , от 10 мая 2016 на Wayback Machine
↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М. : Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
(неопр.) . NCSU COE People . Дата обращения: 12 августа 2019. 28 февраля 2019 года.
(неопр.) . docs.cntd.ru . Дата обращения: 14 января 2022. 9 июля 2021 года.
↑ Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М. : «Педагогика», 1989. — С. 219.
Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений / Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М. : Наука, 1983. — С. 415. — 480 с.
от 28 июля 2021 на Wayback Machine // Школьная математика, интернет-ресурс.
от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Науколандия, интернет-ресурс.
от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М. : Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М. : Статистика, 1973. — 284 с.
Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М. : Наука , 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5 . — С. 17, 113—114.
Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л. : Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5 . — С. 13, 80—81.
Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 116. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Lamb, Evelyn (August 31, 2014), , Scientific American , Roots of Unity , < > от 17 октября 2014 на Wayback Machine
Меннингер К. . — М. : ЗАО Центрполиграф, 2011. — С. —470. — 543 с. — ISBN 9785952449787 .
(неопр.) . 23 июля 2012 года.
(неопр.) . Дата обращения: 19 сентября 2017. 20 сентября 2017 года.
(англ.) . The Guardian (14 сентября 2017). Дата обращения: 19 сентября 2017. 20 ноября 2017 года.
Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8 .
«Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
, с. 89.
, с. 90.
Joseph, George Gheverghese. (англ.) . — Princeton University Press , 2011. — P. . — ISBN 978-0-691-13526-7 .

Литература

Депман И. Я. . — издание 2-е, исправленное. — М. : Просвещение, 1965. — 417 с.
Ламберто Гарсия дель Сид. Первые натуральные числа и их значение → 0 — двусмысленное число // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 14—15. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8 .
Нуль // / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика , 1985. — С. . — 352 с.
Сейфе, Чарльз. Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 288 с. — ISBN 978-5-17-083294-1 .
Kaplan, Robert. . — Oxford: Oxford University Press, 2000. — 226 с. — ISBN 0-19-512842-7 .
Wells, David. 0 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . — Penguin Books, 1986. — С. —26. — 229 с. — ISBN 0-14-008029-5 .

Ссылки

В Викисловаре есть статья « »

/С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
J. J. O'Connor, E. F. Robertson. (неопр.) . MacTutor History of Mathematics archive . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (ноябрь 2000).