Правило Стёрджеса — эмпирическое правило определения оптимального количества интервалов, на которые разбивается наблюдаемый диапазон изменения случайной величины при построении гистограммы плотности её распределения. Названо по имени американского статистика Герберта Стёрджеса ( Herbert Arthur Sturges , 1882—1958).

Количество интервалов ${\displaystyle n}$ определяется как:

${\displaystyle n=1+\lfloor \log _{2}N\rfloor }$ ,

где ${\displaystyle N}$ — общее число наблюдений величины, ${\displaystyle \log _{2}}$ — логарифм по основанию 2, ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ — обозначает целую часть числа ${\displaystyle x}$ .

Часто встречается записанным через десятичный логарифм:

${\displaystyle n=1+\lfloor 3.322\lg N\rfloor }$ ,

Основанием для него служит оценка количества событий с разными вероятностями в схеме испытаний Бернулли длительностью в ${\displaystyle n-1}$ этап. Если имеются серии испытаний с 2 альтернативными исходами с постоянной вероятностью каждого, то число видов серий, где в составе имеется ${\displaystyle k}$ исходов, принимающих первое из альтернативных значений, и, соответственно, ${\displaystyle n-k-1}$ — принимающих второе, равно: ${\displaystyle n}$ (от ${\displaystyle k=0}$ до ${\displaystyle k=n-1}$ ), а общее число серий ${\displaystyle N=2^{n-1}}$ .

Если аппроксимировать значения наблюдаемой случайной величины результатами сложения случайно выпадающих в серии испытаний значений двух чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (например ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ ), соответствующих исходам схемы Бернулли, то каждой серии испытаний содержащей ${\displaystyle k}$ исходов с результатом ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle n-k-1}$ исходов с результатом ${\displaystyle b}$ будет соответствовать сумма ${\displaystyle ka+(n-k+1)b}$ . Количество различных значений (в рассматриваемом случае: ${\displaystyle a(n-1),a(n-2)+b,..a+b(n-2),b(n-1)}$ , для пары ${\displaystyle 0,1}$ — ${\displaystyle 0,1,2,..n-1}$ ) будет равно количеству последовательностей с различным числом исходов ${\displaystyle n}$ . Т.о., если ставить задачу, чтобы на каждый интервал между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ приходилось в среднем не меньше одного значения суммы, а значит и не меньше одной серии испытаний, моделирующей получение случайной величины, то число этапов в серии, равное числу интервалов, на которые разбивается диапазон изменения наблюдаемых значений, должно быть не больше, чем ${\displaystyle n=1+\lfloor \log _{2}N\rfloor }$

Распределение получившихся величин ( распределение Бернулли ) аппроксимируется при больших ${\displaystyle N}$ нормальным распределением согласно теореме Муавра — Лапласа , что дает основания при предположении о близости распределения исследуемой величины к нормальному и, соответственно, к аппроксимируемому им биномиальному применять оценку количества интервалов разбиения соответственно количеству ожидаемых дискретных значений для распределения Бернулли, что приводит к правилу Стёрджеса.

Литература

• Sturges H. (1926). The choice of a class-interval. J. Amer. Statist. Assoc., 21, 65-66.

Ссылки

• от 26 января 2013 на Wayback Machine