Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе , само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы ${\displaystyle G}$ по нормальной подгруппе ${\displaystyle H}$ обычно обозначается ${\displaystyle G/H}$ .

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа , ${\displaystyle H}$ — её нормальная подгруппа и ${\displaystyle a\in G}$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$

${\displaystyle aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}}$

можно ввести умножение :

${\displaystyle (aH)(bH)=abH}$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если ${\displaystyle aH=a'H}$ и ${\displaystyle bH=b'H}$ , то ${\displaystyle abH=a'b'H}$ . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа ${\displaystyle G/H}$ называется факторгруппой ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle H}$ .

Свойства

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма ${\displaystyle \varphi :G\to K}$

${\displaystyle G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)}$ ,

то есть факторгруппа ${\displaystyle G}$ по ядру ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi }$ изоморфна её образу ${\displaystyle \varphi (G)}$ в ${\displaystyle K}$ .

• Отображение ${\displaystyle a\mapsto aH}$ задаёт естественный гомоморфизм ${\displaystyle G\to G/H}$ .
• Порядок ${\displaystyle G/H}$ равен индексу подгруппы ${\displaystyle [G:H]}$ . В случае конечной группы ${\displaystyle G}$ он равен ${\displaystyle |G|/|H|}$ .
• Если ${\displaystyle G}$ абелева , нильпотентна , разрешима , циклическая или конечнопорождённая , то и ${\displaystyle G/H}$ будет обладать тем же свойством.
• ${\displaystyle G/G}$ изоморфна тривиальной группе ( ${\displaystyle \{e\}}$ ), ${\displaystyle G/{e}}$ изоморфна ${\displaystyle G}$ .

Примеры

• Пусть ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ , ${\displaystyle H=n\mathbb {Z} }$ , тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ .
• Пусть ${\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц ), ${\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}$ (группа верхних унитреугольных матриц ), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна группе диагональных матриц .
• Пусть ${\displaystyle G=S_{4}}$ ( симметрическая группа ), ${\displaystyle H=V_{4}}$ ( четверная группа Клейна , состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle S_{3}}$ .
• Пусть ${\displaystyle G=S_{n}}$ (симметрическая группа), ${\displaystyle H=A_{n}}$ ( знакопеременная группа ), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ .
• Пусть ${\displaystyle G=Q_{8}}$ ( группа кватернионов ), ${\displaystyle H=\mathbb {Z} _{2}}$ (циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle V_{4}}$ .

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М. : Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7 .