В сезоне 2008/09 Родригес выступал за «Бернли». 23 сентября в матче
Кубка Футбольной лиги
против «
Фулхэма
» Родригес забил свой первый гол за клуб
. Он регулярно выходил на замену в матчах основного состава, отметившись забитыми мячами в матчах против «
Куинз Парк Рейнджерс
» в
Кубке Англии
и против «
Тоттенхэм Хотспур
» в полуфинале Кубка Футбольной лиги
. 11 марта забил свой первый гол в чемпионате в матче против «
Кристал Пэлас
»
. 14 марта Родригес забил выдающийся гол в ворота «
Ноттингем Форест
», который впоследствии был признан лучшим голом «Бернли» в сезоне
. 11 апреля 2009 года Джей дебютировал в стартовом составе своей команды в матче против «Куинз Парк Рейнджерс»
. Родригес помог своему клубу выйти в
Премьер-лигу
, сыграв в финале плей-офф Чемпионата Футбольной лиги против «
Шеффилд Юнайтед
», в котором «Бернли» победил со счётом 1:0
.
«Бернли» вышел в Премьер-лигу, но Родригес не попадал в основной состав команды. 1 февраля 2010 года Джей отправился в аренду в клуб «
Барнсли
» сроком на один месяц
. Он забил в своём первом матче за «Барнсли» против «
Престона
»
.
В сезоне 2010/11 Родригес стал лучшим бомбардиром «Бернли», забив 15 голов во всех турнирах (14 из них в чемпионате).
В сезоне 2011/12 Джей вновь стал лучшим бомбардиром «Бернли», забив 21 гол во всех турнирах. Он также был включён в состав символической «
команды года
» в Чемпионате Футбольной лиги по итогам сезона.
По окончании сезона 2011/12 несколько клубов заявили о своём интересе к Родригесу, в том числе «
Кардифф Сити
»
. 28 мая было объявлено, что «Бернли» принял «солидное предложение» от «
Саутгемптона
» о трансфере Родригеса
. 10 июня Джей подписал с «Саутгемптоном» четырёхлетний контракт, а сумма трансфера составила около £7 млн
.