Анализ — объединение нескольких разделов математики , исторически выросшее из классического математического анализа и охватывающее, кроме дифференциального и интегрального исчислений, входящих в классическую часть, такие разделы, как теории функций вещественной и комплексной переменной, теории дифференциальных и интегральных уравнений , вариационное исчисление , гармонический анализ , функциональный анализ , теорию динамических систем и эргодическую теорию , глобальный анализ . Нестандартный анализ находится на стыке математической логики и анализа, применяет методы теории моделей для альтернативной формализации, прежде всего, классических разделов.

Считается одним из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией . Основной отличительный признак анализа в сравнении с другими направлениями — наличие функций переменных величин как предмета исследования. При этом, если элементарные разделы анализа в учебных программах и материалах часто объединяют с элементарной алгеброй (например, существуют многочисленные учебники и курсы с наименованием «Алгебра и начала анализа»), то современный анализ в значительной степени использует методы современных геометрических разделов, прежде всего, дифференциальной геометрии и топологии .

История

Отдельные ответвления от «анализа бесконечно малых», такие как теория обыкновенных дифференциальных уравнений ( Эйлер , Иоганн Бернулли , Д’Аламбер ), вариационное исчисление (Эйлер, Лагранж ), теория аналитических функций (Лагранж, Коши , впоследствии — Риман ), начали обособляться ещё в XVIII — первой половине XIX века. Однако началом формирования анализа как самостоятельного современного раздела считаются труды середины XIX века по формализации ключевых понятий классического анализа — вещественного числа , функции , предела , интеграла , прежде всего, в трудах Коши и Больцано , и приобретшие законченную форму к 1870-м — 1880-м годам в работах Вейерштрасса , Дедекинда и Кантора . В этой связи сформировались теория функций вещественной переменной и, в развитии методов работы с аналитическими функциями, — теория функций комплексной переменной . Созданная Кантором в конце XIX века наивная теория множеств дала толчок к появлению понятий метрического и топологического пространств, что в значительной мере изменило весь инструментарий анализа, повысив уровень абстракции изучаемых объектов и переместив фокус с вещественных чисел к нечисловым понятиям.

В начале XX века в основном силами французской математической школы ( Жордан , Борель , Лебег , Бэр ) была создана теория меры , благодаря которой обобщено понятие интеграла, а также построена теория функций действительной переменной . Также в начале XX века начал формироваться функциональный анализ как самостоятельный подраздел современного анализа, изучающий топологические векторные пространства и их отображения . Термин «функциональный анализ» ввёл Адамар , обозначая ветвь вариационного исчисления, разрабатываемую на рубеже XIX и XX веков группой итальянских и французских математиков (в их числе — Вольтерра , Арцела ). В 1900 году Фредгольм публикует статью об интегральных уравнения, давшую толчок как для развития теории интегральных уравнений и общей теории интегрирования ( Лебег ), так и для формирования функционального анализа . В 1906 году в работе Гильберта очерчена спектральная теория , в том же году опубликована работа Фреше , в которой впервые в анализ введены абстрактные метрические пространства . В 1910-е — 1920-е годы уточнены понятия отделимости и впервые применены общетопологические методы к анализу ( Хаусдорф ), освоены функциональные пространства и начато формирование общей теории нормированных пространств (Гильберт, Рис , Банах , Хан ). В период 1929—1932 годов сформирована аксиоматическая теория гильбертовых пространств ( Джон фон Нейман , Маршалл Стоун , Рис). В 1936 году Соболевым сформулировано понятие обобщённой функции (позднее в 1940-х годах независимо от него к подобному понятию пришёл Лоран Шварц ), получившее широкое распространение во многих разделах анализа и нашедшее широкое применение в приложениях (например, обобщённой является ${\displaystyle \delta }$ -функция Дирака ). В 1930-е — 1950-е годы в функциональном анализе получены значительные результаты за счёт применения общеалгебраических инструментов ( векторные решётки , операторные алгебры , банаховы алгебры ).

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как теория динамических систем и эргодическая теория ( Джордж Биркгоф , Колмогоров , фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — топологических групп и представлений ( Вейль , , Понтрягин ). Начиная с 1940-х — 1950-х годов методы функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах Канторовича 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в вычислительной математике и экономике ( линейное программирование ). В 1950-е годы в трудах Понтрягина и учеников в развитие методов вариационного исчисления создана теория оптимального управления .

Начиная со второй половины XX века с развитием дифференциальной топологии к анализу примкнуло новое направление — анализ на многообразиях , получившее название «глобальный анализ» , фактически начавшее формироваться ранее, в 1920-е годы в рамках теории Морса как обобщение вариационного исчисления (называемое Морсом «вариационное исчисление в целом», англ. variation calculus in large ). К этому направлению относят созданные в развитие теории бифуркаций динамических систем ( Андронов ) такие направления, как теорию особенностей ( Уитни , 1955 ) и теорию катастроф ( Том , 1959 и Мазер , 1965 ), получившие в 1970-е годы развитие в работах Зимана и Арнольда .

В начале 1960-х годов Робинсоном создан нестандартный анализ — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария теории моделей . Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, бесконечно больших и бесконечно малых величин ), то с разработкой в конце 1970-х годов ( англ. ) и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам . Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами . Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие (созданного Коэном для доказательства неразрешимости в ZFC континуум-гипотезы ) в работах Соловея , Скотта и ( чеш. ) разработана теория , на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ .

Классический математический анализ

Классический математический анализ — раздел, фактически полностью соответствующий историческому « анализу бесконечно малых », состоит из двух основных компонентов: дифференциального и интегрального исчислений. Основные понятия — предел функции , дифференциал , производная , интеграл , главные результаты — формула Ньютона — Лейбница , связывающая определённый интеграл и первообразную и ряд Тейлора — разложение в ряд бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки.

Под термином «математический анализ» обычно понимают именно этот классический раздел, при этом он используется в основном в учебных программах и материалах. При этом изучение основ анализа входит в большинство среднеобразовательных программ, а более или менее полное изучение предмета включено в программы первых лет высшего образования для широкого круга специальностей, в том числе многих гуманитарных. В англо-американской образовательной традиции для обозначения классического математического анализа используется термин «исчисление» ( англ. calculus ).

Теория функций вещественной переменной

Теория функций вещественной переменной (иногда именуется кратко — теория функций ) возникла вследствие формализации понятий вещественного числа и функции : если в классических разделах анализа рассматривались только функции, возникающие в конкретных задачах, естественным образом, то в теории функций сами функции становятся предметом изучения, исследуется их поведение, соотношения их свойств. Один из результатов, иллюстрирующих специфику теории функций вещественной переменной — факт, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке (притом согласно более ранним представлениям классического математического анализа дифференцируемость всех непрерывных функций не подвергалась сомнению).

Основные направления теории функций вещественной переменной :

• теория меры , в качестве основного инструмента использует понятия меры множества и измеримой функции , на основе которых вводятся более общими способами, чем в классическом анализе, и исследуются интегрирование и дифференцирование, особым образом вводится понятие сходимости, изучается достаточно широкий класс разрывных функций;
• дескриптивная теория функций вещественной переменной, изучающая классификации функций средствами дескриптивной теории множеств (основной результат — классы Бэра );
• конструктивная теория функций, исследующая задачи приближения и интерполяции функций вещественной переменной (развитая в трудах Чебышёва и Бернштейна ).

Теория функций комплексной переменной

Предмет изучения теории функций комплексной переменной — числовые функции , определённые на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ или комплексном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ , при этом наиболее тщательно изучены аналитические функции , играющие важную связующую роль практически для всех ветвей математического анализа. В частности, понятие аналитической функции обобщено для произвольных банаховых пространств , тем самым многие результаты теории функций комплексной переменной нашли обобщение в функциональном анализе.

Функциональный анализ

Функциональный анализ как раздел характеризуется наличием в качестве предмета изучения топологических векторных пространств и их отображений с наложенными на них различными алгебраическими и топологическими условиями . Центральную роль в функциональном анализе играют функциональные пространства, классический пример — пространства ${\displaystyle L^{p}}$ всех измеримых функций , чья ${\displaystyle p}$ -я степень интегрируема; при этом уже ${\displaystyle L^{2}}$ — бесконечномерное пространство ( гильбертово пространство ), и пространства бесконечных размерностей присущи функциональному анализу настолько, что иногда весь раздел определяется как часть математики, изучающая бесконечномерные пространства и их отображения . Важнейшей формой пространств в классических разделах функционального анализа являются банаховы пространства — нормированные векторные пространства, полные по метрике, порождённой нормой: значительная доля интересных на практике пространств являются таковыми, среди них — все гильбертовы пространства, пространства ${\displaystyle L^{p}}$ , пространства Харди , пространства Соболева . Важную роль играют в функциональном анализе играют алгебраические структуры, являющиеся банаховыми пространствами — банаховы решётки и банаховы алгебры (в том числе — ${\displaystyle C^{*}}$ -алгебры , алгебры фон Неймана ).

Теория операторов , изучающая ограниченные линейные операторы — крупный подраздел функционального анализа, включающий спектральную теорию , теории различных классов операторов (в частности, компактные , фредгольмовы , замкнутые операторы), теории операторов на специальных нормированных пространствах (на гильбертовых пространствах — самосопряжённые , нормальные , унитарные , положительные операторы, на функциональных пространствах — дифференциальные , , интегральные и операторы и другие), теорию инвариантных подпространств , теории классов операторов — операторные алгебры , и другие.

Вариационное исчисление

Основной объект изучения вариационного исчисления — вариации функционалов , при помощи которых решаются экстремальные задачи, зависящие от выбора одной или нескольких переменных функций. Типичная вариационная задача — отыскание функции, которая удовлетворяет условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, бесконечно малые возмущения которой не вызывают изменения функционала по меньшей мере в первом порядке малости. Классическое вариационное исчисление оказало большое инструментальное влияние на многие разделы физики ( вариационные принципы механики , также нашло широкое применение в электродинамике , квантовой механике ). Теория оптимального управления — применение методов вариационного исчисления для существенно более широкого класса задач: определения наилучших параметров систем, в условиях когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения.

Гармонический анализ

Основной принцип гармонического анализа — сведе́ние задач анализа к исследованию инструментами для гармонических функций и их обобщений. Классический гармонический анализ включает в качестве основных средств теории тригонометрических рядов , преобразований Фурье , почти периодических функций , рядов Дирихле .

В абстрактном гармоническом анализе классические методы обобщены для абстрактных структур с использованием таких понятий, как мера Хаара и представления групп . Важнейший результат коммутативного гармонического анализа — теорема Понтрягина о двойственности , благодаря которой относительно простыми общеалгебраическими средствами описываются практически все классические результаты гармонического анализа. Дальнейшее развитие теории — некоммутативный гармонический анализ, имеющий важные приложения в квантовой механике .

Дифференциальные и интегральные уравнения

В связи с дифференциальными уравнениями в анализе выделяется два основных направления — теория обыкновенных дифференциальных уравнений и теория дифференциальных уравнений в частных производных (в учебных материалах и некоторых классификациях фигурирующая как «уравнения математической физики», так как исследование такого класса уравнений составляет основное наполнение математической физики ).

В теории интегральных уравнений , кроме классических методов решения, выделяются такие направления, как теория Фредгольма , оказавшая заметное влияние на формирование функционального анализа как самостоятельного раздела, в частности, способствовавшая формированию понятия гильбертова пространства .

Теория динамических систем и эргодическая теория

Из основных направлений изучения дифференциальных уравнений в качестве самостоятельных разделов выделились теория динамических систем , изучающая эволюцию во времени механических систем, и эргодическая теория , нацеленная на обоснование статистической физики . Несмотря на прикладной характер задач, к этим разделам относится широкий пласт понятий и методов общематематического значения, в частности, таковы понятия устойчивости и эргодичности .

Глобальный анализ

Глобальный анализ — раздел анализа, изучающий функции и дифференциальные уравнения на многообразиях и векторных расслоениях ; иногда это направление обозначается как «анализ на многообразиях».

Одно из первых направлений глобального анализа — теория Морса и её применение к задачам о геодезических на римановых многообразиях ; направление получило название «вариационное исчисление в целом». Основные результаты — лемма Морса , описывающая поведение гладких функций на гладких многообразиях в невырожденных особых точках, и такой гомотопический инвариант, как категория Люстерника — Шнирельмана . Многие из конструкций и утверждений обобщены на случай бесконечномерных многообразий ( гильбертовых многообразий , ). Результаты, полученные в рамках глобального анализа особых точек нашли широкое и для решения чисто топологических задач, такова, например, , во многом послужившая основанием для самостоятельного раздела математики — ${\displaystyle K}$ -теории , а также теорема об ${\displaystyle h}$ -кобордизме , следствием которой является выполнение гипотезы Пуанкаре для размерности, превосходящей 4.

Ещё один крупный блок направлений глобального анализа, получивший широкое применение в физике и экономике — теория особенностей , теория бифуркаций и теория катастроф ; основное направление исследований данного блока — классификация поведений дифференциальных уравнений или функций в окрестностях критических точек и выявление характерных особенностей соответствующих классов.

Нестандартный анализ

Нестандартный анализ — формализация ключевых понятий анализа средствами математической логики , основная идея — формальная актуализация бесконечно больших и бесконечно малых величин, и логическая формализация манипуляций с ними. При этом средства нестандартного анализа оказываются весьма удобными: ими получены результаты, ранее не найденные классическими средствами из-за недостатка наглядности .

Нестандартный анализ разбивается на два направления: семантическое, использующее на теоретико-модельные инструменты, и синтаксическое, использующее разного рода расширения стандартной теории множеств . Семантическое направление базируется на , позволяющей переносить свойства с локальных частей моделей на всю модель . Существует крупная самостоятельная ветвь семантического направления нестандартного анализа — булевозначный анализ, конструирующийся вокруг понятия . Синтаксическое направление основывается на , ключевой идеей которого является введение понятия нестандартных элементов и предиката стандартности и аксиоматизация присущих им свойств. Другой вариант синтаксической формализации — .

Приложения

Примечания

Литература

• Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров , А. Н. Колмогоров , М. А. Лавреньтев . — М. : Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
• Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Гордон Е. И., Кусраев А. Г. , Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М. : Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9 .
• Dieudonné, J. History of Functional Analysis. — Amsterdam: North Holland, 1981. — 314 p. — (Notas de Matematica, vol. 77). — ISBN 0-444-84148-3 .