О́бщая тополо́гия ( теоре́тико-мно́жественная тополо́гия ) — раздел топологии , в котором изучаются понятия непрерывности и предела в наиболее общем смысле.

Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный . Множество называется топологическим пространством , когда задано определённое семейство его открытых подмножеств , удовлетворяющее аксиомам. Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой антидискретной (тривиальной) топологии , склеивающей все точки вместе.

Базовые понятия теории множеств, такие как множество , функция , ординальные числа , кардинальные числа , аксиома выбора , лемма Цорна , не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображениями, классификация топологических пространств. Самостоятельное направление общей топологии — теория размерности .

В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии , общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами, прежде всего — алгебраическими .

Глоссарий общей топологии включает такие понятия как окрестности , замыкания множеств (а также внутренности ), компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров . Понятие предела функции, вводимое в общей топологии, допускает дальнейшее обобщение в рамках теории псевдотопологических пространств .

История

Общая топология зародилась в конце XIX века и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX веке . Основополагающие работы принадлежат Феликсу Хаусдорфу , Анри Пуанкаре , Павлу Александрову , Павлу Урысону , Лёйтзену Брауэру . В частности, была решена одна из главных задач общей топологии — нахождение необходимых и достаточных условий метризуемости топологического пространства.

Наиболее бурное развитие общей топологии как самостоятельной ветви знания происходило в середине XX века, к началу XXI века она скорее является вспомогательной дисциплиной, «обслуживающей» многие области математики: алгебраическую топологию , функциональный анализ , комплексный анализ , теорию графов .

Литература

• П. С. Александров, В. В. Федорчук, В. И. Зайцев
• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию — М. : Наука , 1977
• Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях — М. : Наука , 1974
• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М. : Наука , 1968
• Общая топология — М. : Наука , 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология — М. : Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. . Учебник в задачах (рус., англ.)
• Сосинский А. Б. Введение в топологию — М. : МЦНМО, 2020