Винтовая ли́ния — кривая в трёхмерном пространстве , расположенная на круглом цилиндре или круглом конусе и пересекающая образующие под одинаковым углом .

Цилиндрическая винтовая линия задаётся в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:

${\displaystyle t\mapsto (a\cdot \cos t,a\cdot \sin t,b\cdot t)}$ ,

или в иной записи:

${\displaystyle x(t)=a\cdot \cos t,}$

${\displaystyle y(t)=a\cdot \sin t,}$

${\displaystyle z(t)=b\cdot t}$ ,

где ${\displaystyle a,b}$ — вещественные константы , не равные нулю.

Проекция цилиндрической винтовой линии на плоскость ${\displaystyle x,y}$ представляет собой окружность .

Коническая винтовая линия (также спирально-винтовая линия ), определяется параметрическими уравнениями вида:

${\displaystyle t\mapsto (a\cdot t\cdot \cos t,a\cdot t\cdot \sin t,b\cdot t)}$ ,

или:

${\displaystyle x(t)=a\cdot t\cdot \cos t}$

${\displaystyle y(t)=a\cdot t\cdot \sin t}$

${\displaystyle z(t)=b\cdot t}$ .

Проекция спирально-винтовой линии на плоскость ${\displaystyle x,y}$ — спираль Архимеда .

Тело, имеющее форму винтовой линии, в разговорной речи часто называют спиралью, что не совсем корректно, так как в математике спиралями называют некоторый класс плоских кривых .

«Правые» и «левые» винтовые линии

Существуют зеркально-симметричные винтовые линии. «Правыми» винтовыми линиями принято называть линии, порождаемые по « правилу буравчика » или по «правилу правой руки». Это свойство винтовых линий называют хиральностью — «правая хиральность» и «левая хиральность». Пару зеркально-симметричных винтовых линий называют энантиоморфами. Если коэффициент ${\displaystyle b}$ в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен, то такую линию называют «правой», если отрицателен — то «левой».

Подавляющее число резьб, применяемых в машиностроении, у крепёжных метизов имеют «правую» резьбу, или «правую» хиральность, то есть завинчивание производится по часовой стрелке. «Левые» резьбы используются очень редко — в специальных применениях, например для предотвращения самоотвинчивания шкивов с валов механизмов.

Элементы и свойства

Величину ${\displaystyle 2\cdot \pi \cdot b}$ называют шагом винтовой линии , геометрически это расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра .

Все винтовые линии являются линиями откоса , то есть касательные к ним образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением. Как и у всякой линии откоса, у цилиндрической винтовой линии кривизна ${\displaystyle C}$ и кручение ${\displaystyle S}$ постоянны в любой точке и описываются выражениями

${\displaystyle C={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$ ,

${\displaystyle S={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}$ .

Элемент длины

${\displaystyle dL=dt\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ .

Угол ${\displaystyle \Phi }$ между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке называют геликальным углом , он равен:

${\displaystyle \Phi =\arctan({\tfrac {b}{a}})}$ .

Примеры тел в виде винтовой линии

Форму винтовой линии имеют, например, следующие молекулы :

• ДНК — двойная спираль (двойной винт),
• РНК ,
• актиновая нить — двойная спираль,
• кальмодулин ,
• молекулы, имеющие хиральность ,
• аспарагиназа .

Формы винтовых линий имеют также многие детали машин и механизмов — пружины , часть винтовых свёрл , соединительные винты , болты , шпильки , винты ( шнеки ) мясорубок , экструдеров, винт Архимеда , шнеки снегоуборщиков и другие (реализуют винтовую поверхность — геликоид ).

Примечания