Interested Article - Длина кривой

Приближение длины дуги эллипса с помощью ломаных

Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й ) — числовая характеристика протяжённости этой кривой . Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio , спрямление).

Определение

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая $\gamma$ $\gamma$ в трёхмерном пространстве задана параметрически:

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),

(1)

где $a\leqslant t\leqslant b$ $a\leqslant t\leqslant b$ , все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям $t$ $t$ соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала $[a,b]$ $[a,b]$ на $m$ $m$ отрезков: $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ . Соединение точек кривой $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$ $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных .

Длина дуги циклоиды ( s ) в зависимости от её параметра ( θ)

Связанные определения

Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая , в противном случае — неспрямляемая . Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема .
Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной .
Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции , определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства

Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации , то длина кривой существует и конечна.
В математическом анализе выводится формула для вычисления длины $s$ $s$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы :

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt.

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt.

(2)

Формула подразумевает, что

a\leqslant b

a\leqslant b

и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t . Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n -мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt.

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt.

.

Если плоская кривая задана уравнением $y=f(x),$ $y=f(x),$ где $f$ $f$ — гладкая функция на отрезке значений параметра $[a,b]$ $[a,b]$ , то длина кривой определяется по формуле:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.

В полярных координатах

(r,\varphi)

(r,\varphi)

:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .

Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади , и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности . Декарт даже высказывал мнение, что « отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми » .

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла ( 1657 ), выполненное Ферма и самим Нейлом . Вскоре была найдена длина арки циклоиды ( Рен , Гюйгенс ). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа ) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения

Риманово пространство

В n -мерном римановом пространстве с координатами $x^{1}\cdots x^{n}$ $x^{1}\cdots x^{n}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

x^{i}=x^{i}(t).

x^{i}=x^{i}(t).

(3)

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

,

где $g_{ij}$ $g_{ij}$ — метрический тензор . Пример: кривая на поверхности в $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ .

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства $(X,\rho)$ $(X,\rho)$ длиной $S$ $S$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой $\gamma :[a,b]\to X$ $\gamma :[a,b]\to X$ определяется согласно формуле:

s=\sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b$ $a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b$ отрезка $[a,b]$ $[a,b]$ .

См. также

Примечания

Длина // . — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 2. 20 ноября 2012 года.
, с. 199.
, с. 201—202.
Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича . — М. — Л. : Гостехиздат , 1938. — С. 49. — 297 с. — (Классики естествознания).
Оригинал цитаты на французском языке : «la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes», см. Descartes R. . — 1637. — С. 340. 4 апреля 2017 года.

Литература

Корн Г., Корн Т. . — М. : Наука, 1973.
Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409 .
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М. : Наука, 1966.
Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М. : Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4 .