Проблема множественной общности — проблема описания _en некоторых интуитивно понятных, общезначимых умозаключений.

Например, интуитивно ясно, что если:

Одного кота боятся все мыши

то, из этого, логически следует, что:

Все мыши боятся как минимум одного кота

Синтаксис традиционной логики допускает ровно четыре типа предложений : «Все As являются Bs», «Ни одно As не является Bs», «Некоторые As являются Bs» и «Некоторые As не являются Bs».

Каждый тип представляет собой утверждение с одним единственным квантором . Поскольку все приведенные выше предложения содержат по два квантора («некоторые» и «каждый» в первом предложении и «все» и «хотя бы один» во втором), они не могут быть адекватно представлены в форме силлогизма традиционной логики.

Лучшее, что может сделать традиционная логика — включить второй квантор из каждого предложения во второй термин, в результате чего получаются искусственно звучащие термины «боится-каждая-мышь» и «боится-по-крайней мере-одного-кота». Это, по сути, скрывает кванторы, которые необходимы для обоснованности вывода, внутри терминов, написанных через дефис. Таким образом, предложение «Какого-то кота боится каждая мышь» получает ту же логическую форму , что и предложение «Какой-то кот голоден» и получает форму:

Некоторые As являются Bs

Все Cs являются Ds

что явно не соответствует действительности.

Первым логическим исчислением, способным работать с такими умозаключениями, было «Исчисление понятий» ( ) Готтлоба Фреге (1879 г.). Это исчисление предвосхитило современную логику первого порядка, в которой квантификаторы рассматривались с помощью связывания переменных. Фреге сдержанно относился к тому, что его логика была более выразительной, чем существующие логические исчисления, однако, многие учёные, занимающиеся логикой Фреге, считают именно «Исчисление понятий» одним из его важнейших достижений.

Используя современное исчисление предикатов , можно быстро обнаружить, что следующее утверждение является неоднозначным:

Какого-то кота боится каждая мышь

может означать, что «каждая мышь боится какого-то кота». То есть

Для каждой мыши «m» существует кот «c», такой, что «m» боится «c»,

${\displaystyle \forall m\,(\,{\text{Мышь}}(m)\rightarrow \exists c\,({\text{Кот}}(c)\land {\text{Боится}}(m,c))\,)}$

в этом случае тривиально.

Но то же самое предложение может означать, что существует какой-то кот, «которого боятся все мыши»:

Существует кот «c», такой, что для каждой мыши «m», «m» боится «c».

${\displaystyle \exists c\,(\,{\text{Кот}}(c)\land \forall m\,({\text{Мышь}}(m)\rightarrow {\text{Боится}}(m,c))\,)}$

Этот пример наглядно демонстрирует важность уточнения области применения кванторов существования и всеобщности .

Литература

• Suppes, Patrick. . — D. Van Nostrand, 1957. — ISBN 978-0-442-08072-3 .
• Hamilton, A. G. . — Cambridge University Press, 1978. — ISBN 0-521-29291-3 .
• Halmos, Paul. Logic as Algebra / Paul Halmos, Steven Givant. — MAA, 1998. — ISBN 0-88385-327-2 .