Interested Article - Обратные гиперболические функции

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции ) — семейство элементарных функций , определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям . Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x 2 y 2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x 2 + y 2 = 1 . Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т.д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям , тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т.д. и названия обратный гиперболический синус , ареасинус и т.д. Также применяют названия гиперболический ареасинус , гиперболический ареакосинус и т.д., но слово « гиперболический » здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс « ареа ». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис : ареа-синус , ареа-косинус и т.д.

В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции ( логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции Обозначение в русской литературе Обозначение в английской литературе
ареасинус arsh arsinh, sinh −1
ареакосинус arch arcosh, cosh −1
ареатангенс arth artanh, tanh −1
ареакотангенс arcth arcoth, coth −1
ареасеканс arsch, arsech arsech, sech −1
ареакосеканс arcsch arcsch, csch −1

Определения функций

Ареасинус для действительного аргумента
Ареакосинус для действительного аргумента
Ареатангенс для действительного аргумента
Ареакотангенс для действительного аргумента
Ареасеканс для действительного аргумента
Ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

  • ареасинус
  • ареакосинус
  • ареатангенс
  • ареакотангенс
  • ареасеканс
  • ареакосеканс

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть если представить комплексное число z как при ), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды :

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

Производные

Функция Производная Примечание

Для действительных x :

Пример дифференцирования: если θ = arsh x , то:

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

Дополнительные формулы

См. также

Источники

  1. М.Я. Выгодский. . — Наука, 1963. — С. 594. — 873 с.
  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics , с. 207, Academic Press .

Ссылки

Источник —

Same as Обратные гиперболические функции