Длина́ криво́й (или, что то же, длина́ дуги́ криво́й ) — числовая характеристика протяжённости этой кривой . Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio , спрямление).

Определение

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая ${\displaystyle \gamma }$ в трёхмерном пространстве задана параметрически:

где ${\displaystyle a\leqslant t\leqslant b}$ , все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям ${\displaystyle t}$ соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала ${\displaystyle [a,b]}$ на ${\displaystyle m}$ отрезков: ${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b}$ . Соединение точек кривой ${\displaystyle \gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})}$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных .

Связанные определения

• Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая , в противном случае — неспрямляемая . Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема .
• Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной .
• Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции , определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства

• Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации , то длина кривой существует и конечна.
• В математическом анализе выводится формула для вычисления длины ${\displaystyle s}$ отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы :

Формула подразумевает, что ${\displaystyle a\leqslant b}$ и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t . Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n -мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt.}$ .

• Если плоская кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x),}$ где ${\displaystyle f}$ — гладкая функция на отрезке значений параметра ${\displaystyle [a,b]}$ , то длина кривой определяется по формуле:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx.}$

В полярных координатах ${\displaystyle (r,\varphi )}$ :

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .}$

• Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади , и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности . Декарт даже высказывал мнение, что « отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми » .

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла ( 1657 ), выполненное Ферма и самим Нейлом . Вскоре была найдена длина арки циклоиды ( Рен , Гюйгенс ). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа ) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения

Риманово пространство

В n -мерном римановом пространстве с координатами ${\displaystyle x^{1}\cdots x^{n}}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

${\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt}$ ,

где ${\displaystyle g_{ij}}$ — метрический тензор . Пример: кривая на поверхности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho )}$ длиной ${\displaystyle S}$ кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ определяется согласно формуле:

${\displaystyle s=\sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),}$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ .

См. также

• Дифференциальная геометрия кривых
• Объём
• Определённый интеграл
• Площадь
• Дуга окружности
• Кривая Пеано

Примечания

Литература

• Корн Г., Корн Т. . — М. : Наука, 1973.
• Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409 .
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М. : Наука, 1966.
• Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М. : Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4 .