Interested Article - Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли с фокальными точками, построенная через параметрическое представление в GNU Octave

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая . Определяется как геометрическое место точек , произведение расстояний от которых до двух заданных точек ( фокусов ) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру « восемь » или символ бесконечности . Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой , или двойной .

История

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх . Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли , положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году . Бернулли назвал эту кривую lemniscus ; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай . Квадратуру лемнискаты впервые выполнил , опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов , продолженное впоследствии Леонардом Эйлером . Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году .

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется $2c$ , расположены они на оси $OX$ , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

параметрическое в прямоугольных координатах :

$x={\frac {c{\sqrt {2}}\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};\qquad y={\frac {c{\sqrt {2}}\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};$
в прямоугольных координатах :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2});

в подерных координатах :

pa^{2}=r^{3}.

Вывод

Фокусы лемнискаты — $F_{1}(-c;0)$ и $F_{2}(c;0)$ . Возьмём произвольную точку $M(x;y)$ . Произведение расстояний от фокусов до точки $M$ есть

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}

,

и по определению оно равно $c^{2}$ :

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}

Возводим в квадрат обе части равенства:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}

Раскрываем скобки в левой части:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0

Выносим общий множитель и переносим:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Далее можно сделать замену $a^{2}=2c^{2}$ , хотя это не обязательно:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

В данном случае $a$ — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Вывод

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}

Приводим к виду

\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0

Это квадратное уравнение относительно $y^{2}$ . Решив его, получим

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

в полярных координатах :

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .

Вывод

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ получим:

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ :

\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )

Делим на $\rho ^{2}$ , предполагая, что $\rho \neq 0$ и используем ещё одно тождество: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ :

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить $a^{2}=2c^{2}$ :

\textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

{\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}

, где

p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую : от $-\infty$ до $+\infty$ . При этом, когда параметр стремится к $-\infty$ , точка кривой стремится к $(0;0)$ из второй координатной четверти , а когда параметр стремится к $+\infty$ , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Вывод уравнения

Уравнение лемнискаты в полярной системе

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

подставим в формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ возведённые в квадрат:

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \cos ^{2}\varphi \\y^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \sin ^{2}\varphi \end{cases}}

Используем тригонометрические формулы $\textstyle \cos 2\alpha ={\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},\textstyle \cos ^{2}\alpha ={\dfrac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$ и $\textstyle \sin ^{2}\alpha ={\dfrac {\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$ :

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\varphi }{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} ^{2}\varphi \left(1-\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\end{cases}}

Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение $\operatorname {tg} \alpha ={\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}}$ :

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\left(1-\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\end{cases}}

Выполнив необходимые преобразования, получаем:

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\end{cases}}

Извлекаем корень из обеих частей обоих равенств:

\textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\\y=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\end{cases}}

Если произвести замену $\textstyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)=p^{2}$ , то получаем искомые параметрические уравнения:

\textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пример

Пусть, например, $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ — фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке — $\textstyle x''Oy''$ ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

\textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$ . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка $F_{1}F_{2}$ — $\textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)$ , значит перенос только на $\textstyle +{\frac {1}{2}}$ по оси $OX$ :

{\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5

значит $c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}$ .

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона $F_{1}F_{2}$ к $OX$ :

\sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })

\cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}

Формулы преобразования:

{\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

{\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

\textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0

После преобразований:

x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при $a=c$ , синусоидальной спирали с индексом $n=2$ и лемнискаты Бута при $c=0$ , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

Лемниската — кривая четвёртого порядка.
Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}$
Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
Лемнискату описывает окружность радиуса $a=c{\sqrt {2}}$ , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

Касательные в двойной точке составляют с отрезком $F_{1}F_{2}$ углы $\textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}$ .
Угол $\mu$ , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен $\textstyle 2\varphi +{\frac {\pi }{2}}$ .
Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу .
Радиус кривизны лемнискаты есть $\textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Вывод

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали :

R={\frac {\rho }{(m+1)\cos m\varphi }}

при

m=2,

однако, легко вывести и по определению.

Уравнение лемнискаты в полярной системе:

\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }

Формулы перехода к полярной системе координат:

{\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}

Выражаем $\textstyle \rho$ :

{\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем $x$ и $y$ :

{\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}

—- это параметрическое уравнение относительно $\varphi$ . Проведя некоторые тригонометрические преобразования , можно получить уравнение относительно $\textstyle p$ , указанное выше в разделе Уравнения .

Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:

R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}}

Находим производные по $\varphi$ :

x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}

x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}

y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}

y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}

Подставляем в формулу радиуса:

R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}

Возвращаемся к уравнению лемнискаты:

\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}

Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:

R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}

Натуральное уравнение кривой имеет вид

$S=3\int {\frac {\mathrm {d} R}{\sqrt {\left({\frac {3}{c}}R\right)^{4}-1}}}$
Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

$\textstyle \rho ^{\frac {2}{3}}=(c{\sqrt {2}})^{\frac {2}{3}}\cos {\frac {2}{3}}\varphi .$
Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы .

Собственные свойства

Кривая является геометрическим местом точек , симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
Материальная точка , движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля , пробегает за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол $45^{\circ }$ с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
Площадь полярного сектора $\varphi \in [0,\alpha ]$ $\varphi \in [0,\alpha ]$ , при $\textstyle 0\leqslant \alpha \leqslant {\frac {\pi }{4}}$ $\textstyle 0\leqslant \alpha \leqslant {\frac {\pi }{4}}$ :

$\textstyle S(\alpha )={\frac {c^{2}}{2}}\sin 2\alpha$
- В частности, площадь каждой петли $\textstyle 2S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}$ , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю $c{\sqrt {2}}$ .
Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
Длина дуги лемнискаты между точками $\varphi _{1}=0$ $\varphi _{1}=0$ и $\varphi _{2}=\varphi$ $\varphi _{2}=\varphi$ выражается эллиптическим интегралом I рода:

$\textstyle L(\varphi )=c\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {1-2\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}F\left(\theta ,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),$ где $2\sin ^{2}\varphi =\sin ^{2}\theta .$
- В частности, длина всей лемнискаты
  
  $\textstyle 4L\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2c{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\approx 5{,}244a\approx 7{,}416c.$

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена )

Строится окружность радиуса $\textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}$ с центром в одном из фокусов. Из середины $O$ фокусного отрезка строится произвольная секущая $OPS$ ( $P$ и $S$ — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки $OM_{1}$ и $OM_{2}$ , равные хорде $PS$ . Точки $M_{1}$ , $M_{2}$ лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — $A$ и $B$ — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — $C$ и $D$ ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: $\textstyle AC=BD={\frac {AB}{\sqrt {2}}},\;CD=AB$ . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — $A$ и $O$ соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок $OC$ соединяется не с концом центрального $BD$ , а с его серединой. Пропорции также другие: $\textstyle BC=CD=OC={\frac {AO}{\sqrt {2}}},\;AB=AO$ .

Построение лемнискаты при помощи секущих
Шарнирный метод
Механизм Ватта ( анимация )
Другой вариант шарнирного метода

При помощи сплайна NURBS

Пример построения лемнискаты Бернулли с помощью сплайна NURBS.
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

№	${\frac {x{\sqrt {2}}}{c}}$	${\frac {y{\sqrt {2}}}{c}}$	$weight$
1	2	0	2
2	2	1	1
3	0	1	1
4	0	−1	1
5	−2	−1	1
6	−2	0	2
7	−2	1	1
8	0	1	1
9	0	−1	1
10	2	−1	1
11	2	0	2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным в диапазоне изменения параметра p в интервале: $-1\leq p\leq 1$ .

Обобщения

Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при $n=2$ )

См. также

Примечания

(англ.) . Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано из 22 августа 2011 года.
Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. . — P. 121—123.
, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.

Литература

Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1982.
Маркушевич А. И. . — . — М. : Гостехиздат , 1952. — С. 23—25. от 14 сентября 2008 на Wayback Machine
Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М. : ФИЗМАТГИЗ , 1960. — С. 155—162.
Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110—117.