В теории чисел числом Эрдёша — Вудса называется всякое положительное число k , для которого существует положительное целое a такое, что в последовательности [ a , a + 1, …, a + k ], каждый из элементов имеет нетривиальный общий делитель с одним из её крайних элементов.

Другими словами, k — число Эрдёша — Вудса, если имеется положительное целое a , такое, что для любого целого i между 0 и k по меньшей мере один из наибольших общих делителей НОД( a , a + i ) и НОД( a + i , a + k ) больше единицы.

Числа Эрдёша – Вудса образуют последовательность:

16 , 22 , 34 , 36 , 46 , 56 , 64 , 66 , 70 … (последовательность в OEIS ).

История

Интерес к числам Эрдёша — Вудса берёт начало от гипотезы Эрдёша :

Существует положительное целое k , такое, что любое целое a однозначно определяется списком различных простых делителей чисел a , a + 1, …, a + k .

Алан Вудс исследовал этот вопрос в своей диссертации в 1981 году , где он предположил, что каким бы ни было k > 1, интервал [ a , a + k ], всегда содержит число, взаимно простое с обоими концами. Несколько позднее он нашел первый контрпример, [2184, 2185, …, 2200], с k = 16.

В 1989 году Довел доказал, что имеется бесконечно много чисел Эрдёша — Вудса, и Цегильски (Cégielski), Херольт(Heroult) и Ричард (Richard) в 2003 году показали, что множество чисел Эрдёша — Вудса является перечислимым .

Примечания

Литература

• Patrick Cégielski; François Heroult, Denis Richard. On the amplitude of intervals of natural numbers whose every element has a common prime divisor with at least an extremity (англ.) // (англ.) ( : journal. — 2003. — Vol. 303 , no. 1 . — P. 53—62 . — doi : .
• David L. Dowe. On the existence of sequences of co-prime pairs of integers (англ.) // J. Austral. Math. Soc. : journal. — 1989. — Vol. 47 . — P. 84—89 . — doi : .