Шестнадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля : проекция ( перспектива ) шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,4}
Ячеек	16
Граней	32
Рёбер	24
Вершин	8
Вершинная фигура	Правильный октаэдр
Двойственный политоп	Тессеракт

Пра́вильный шестнадцатияче́йник , или просто шестнадцатияче́йник — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве . Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра ), четырёхмерный кокуб (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу ), четырёхмерный ортоплекс .

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов . Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.

Описание

Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами . Угол между двумя смежными ячейками равен в точности ${\displaystyle 120^{\circ }.}$

Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники . Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.

Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных октаэдрических пирамиды , приложенные друг к другу своими основаниями, — либо как четырёхмерную , построенную на двух квадратах .

В координатах

Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты ${\displaystyle (\pm 1;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;\pm 1;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;\pm 1;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;\pm 1).}$

При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.

Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0;0)}$ будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер .

Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек ${\displaystyle (x;y;z;w),}$ чьи координаты удовлетворяют уравнению

${\displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|=1,}$

а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых

${\displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|<1.}$

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 1{,}8856181a^{3}.}$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\approx 0{,}3535534a.}$

Заполнение пространства

Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2—10
	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / / E₈ / F₄ / G₂
Правильный многоугольник	Правильный треугольник	Квадрат	Правильный p-угольник	Правильный шестиугольник	Правильный пятиугольник
Однородный многогранник	Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр • Куб	Полукуб		Правильный додекаэдр • Правильный икосаэдр
	Пятиячейник	16-ячейник • Тессеракт	Полутессеракт	24-ячейник	120-ячейник • 600-ячейник
	Правильный 5-симплекс	5-ортоплекс • 5-гиперкуб	5-полугиперкуб
	Правильный 6-симплекс	6-ортоплекс • 6-гиперкуб		•
	Правильный 7-симплекс	• 7-гиперкуб		• •
	Правильный 8-симплекс	• 8-гиперкуб		• •
	Правильный 9-симплекс	• 9-гиперкуб
	Правильный 10-симплекс	• 10-гиперкуб
Однородный n - политоп	Правильный n - симплекс	n - ортоплекс • n - гиперкуб	n - полугиперкуб	• •	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства политопов • Правильные политопы • Список правильных политопов и их соединений