Пентагона́льный икоситетра́эдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», εἴκοσι — «двадцать», τέτταρες — «четыре» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому кубу . Составлен из 24 одинаковых неправильных пятиугольников .

Имеет 38 вершин. В 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра ) сходятся по 4 грани своими острыми углами; в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба ) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 24 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.

• 
  6 вершин расположены так же, как вершины октаэдра
• 
  8 вершин расположены так же, как вершины куба

У пентагонального икоситетраэдра 60 рёбер — 24 «длинных» и 36 «коротких».

В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный икоситетраэдр (наряду с пентагональным гексеконтаэдром ) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».

Метрические характеристики и углы

При определении метрических свойств пентагонального икоситетраэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней . Поэтому пентагональный икоситетраэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения . То же верно и для пентагонального гексеконтаэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.

Как и для курносого куба, при описании метрических свойств и углов пентагонального икоситетраэдра важную роль играет константа трибоначчи :

${\displaystyle t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.}$

Если три «коротких» стороны грани имеют длину ${\displaystyle b}$ , то две «длинных» стороны имеют длину

${\displaystyle a={\frac {t+1}{2}}b\approx 1{,}4196434b.}$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

${\displaystyle S=3(t+1){\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}\;b^{2}\approx 54{,}7965494b^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {t(3t+1)}{(t-1){\sqrt {2-t}}}}\;b^{3}\approx 35{,}6302020b^{3}.}$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах ) при этом будет равен

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{(3-t)(2-t)}}}\;b\approx 1{,}9506813b,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{2-t}}}\;b\approx 2{,}1015939b,}$

радиус окружности, вписанной в грань —

${\displaystyle r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{3-t}}}\;b\approx 0{,}7820097b,}$

диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —

${\displaystyle e=tb\approx 1{,}8392868b.}$

Описать около пентагонального икоситетраэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Все четыре тупых угла грани равны ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1-t}{2}}\approx 114{,}81^{\circ };}$ острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен ${\displaystyle \arccos \,(2-t)\approx 80{,}75^{\circ }.}$

Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \,{\frac {t-1}{t-3}}\approx 136{,}31^{\circ }.}$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .