Единичный куб — куб , ребром которого является единичный отрезок , соответственно, гранью — единичный квадрат . В прямоугольной координатной системе обычно предполагается, чтобы одна вершина находилась в начале координат , все рёбра были параллельны координатным осям и весь куб находился в первом октанте , то есть, чтобы координаты вершин были:

${\displaystyle (0;0;0),(1;0;0),(1;1;0),(1;1;1),(0;1;1),(0;1;0),(0;0;1),(1;0;1)}$ .

Объём единичного куба — 1, площадь поверхности — 6, длина длиннейшей диагонали — ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ .

Единичный гиперкуб ( единичный ${\displaystyle n}$ -куб ) — ${\displaystyle n}$ -мерное обобщение единичного куба, гиперкуб с рёбрами длины 1, и (при упоминании в контексте прямоугольной системы координат) лежащий ${\displaystyle n}$ рёбрами на координатных осях, одной из вершин находящийся в начале координат и находящийся в первом ортанте . Гиперобъём ${\displaystyle n}$ -мерного гиперкуба — 1, гиперплощадь поверхности — ${\displaystyle 2\cdot n}$ , самая длинная диагональ имеет длину ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ .

Определить единичный ${\displaystyle n}$ -куб можно как декартово произведение единичных отрезков:

${\displaystyle [0,1]^{n}=[0,1]\times [0,1]\times [0,1]\times \dots \times [0,1]}$ .

Бесконечномерные обобщения единичного гиперкуба — гильбертов кирпич , определяемый как произведение счётного числа единичных отрезков, и ещё более общий тихоновский куб , являющийся произведением единичных отрезков, индексированных произвольным (возможно, несчётным) множеством.

Литература

• Р. Энгелькинг. Общая топология. — М. : Мир , 1986. — С. 130. — 752 с.