Простая группа — группа , не имеющая нормальных подгрупп , отличных от всей группы и единичной подгруппы.

Конечные простые группы полностью классифицированы в 1982.

В теории бесконечных групп значение простых групп значительно меньше ввиду их необозримости.

В теории групп Ли и алгебраических групп определение простой группы несколько отличается от приведенного, см. простая группа Ли .

Примеры

Конечные простые группы

Циклическая группа ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} }$ проста. Действительно, если ${\displaystyle H}$ — подгруппа ${\displaystyle G}$ , то порядок ${\displaystyle H}$ по теореме Лагранжа должен делить порядок ${\displaystyle G}$ , равный 5. Единственными делителями 5 являются 1 или 5, то есть ${\displaystyle H}$ либо тривиальна, либо совпадает с ${\displaystyle G}$ . Наоборот, группа ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ простой не является, так как множество, состоящее из классов чисел 0, 4 и 8 по модулю 12, образует группу порядка 3, которая нормальна как подгруппа абелевой группы. Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел с операцией сложения также не является простой, поскольку множество чётных чисел есть нетривиальная нормальная подгруппа в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Аналогичными рассуждениями можно убедиться, что всевозможные простые абелевы группы — это в точности циклические группы простого порядка.

Классификация простых неабелевых групп существенно сложнее. Простая неабелева группа наименьшего порядка — знакопеременная группа ${\displaystyle A_{5}}$ порядка 60, при этом любая простая группа порядка 60 изоморфна ${\displaystyle A_{5}}$ . Более того, простыми являются все группы ${\displaystyle A_{n}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 5}$ . Следующая по количеству элементов простая неабелева группа после ${\displaystyle A_{5}}$ — специальная проективная группа ${\displaystyle PSL(2,7)}$ порядка 168. Можно доказать, что любая простая группа порядка 168 изоморфна ${\displaystyle PSL(2,7)}$ .

Бесконечные простые группы

Простой является группа всех чётных подстановок, каждая из которых перемещает конечное подмножество элементов бесконечного множества ${\displaystyle X}$ ; в частности, если множество ${\displaystyle X}$ счётно, это бесконечная знакопеременная группа ${\displaystyle A_{\infty }}$ . Ещё одним семейством примером служат ${\displaystyle PSL_{n}(\mathbb {F} )}$ , где поле ${\displaystyle \mathbb {F} }$ бесконечно и ${\displaystyle n\geqslant 2}$ .

Существуют конечно порождённые и даже конечно определённые бесконечные простые группы.

Свойства

• Всякая группа вложима в простую группу.

См. также

• Простая группа Ли
• Абелева группа