Множество Жюлиа́ — множество ${\displaystyle J(f)}$ , определяемое для рационального отображения ${\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$ как совокупность точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если ${\displaystyle f}$ — многочлен, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей .

Множество Фату ${\displaystyle F(f)}$ — дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle F(f)}$ регулярна, а на ${\displaystyle J(f)}$ хаотична.

Дополняет большую теорему Пикара о «поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки».

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату , положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале XX века.

Определения

Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {C} P^{1}\to \mathbb {C} P^{1}}$ — рациональное отображение. Множество Фату состоит из точек ${\displaystyle z}$ , таких, что в ограничении на достаточно малую окрестность ${\displaystyle z}$ последовательность итераций:

${\displaystyle (f^{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

образует нормальное семейство в смысле Монтеля . Множество Жюлиа — дополнение к множеству Фату.

Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которых устойчивы по Ляпунову . (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует из теоремы Монтеля .)

Свойства

Как следует из определений, множество Жюлиа всегда замкнуто , а множество Фату открыто .

Множество Жюлиа для отображения степени , большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всей сферой Римана . Такой пример можно построить, взяв отображение ${\displaystyle z\mapsto 2z(mod\,\mathbb {Z} [i])}$ удвоения на торе ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]}$ (динамика которого везде хаотична) и пропустив его через ${\displaystyle \wp }$ -функцию Вейерштрасса ${\displaystyle \wp :\mathbb {C} /\mathbb {Z} [i]\to \mathbb {C} P^{1}}$ .

Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.

Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действием ${\displaystyle f}$ , то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:

${\displaystyle f^{-1}(J(f))=f(J(f))=J(f)}$ ,

${\displaystyle f^{-1}(F(f))=f(F(f))=F(f)}$ .

Множество Жюлиа ${\displaystyle J(F)}$ является границей (полного) любой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, что ${\displaystyle J(F)}$ это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность — суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.

Если открытое множество ${\displaystyle U}$ пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большого ${\displaystyle n}$ , образ ${\displaystyle f^{n}(U\cap J)=f^{n}(U)\cap J}$ совпадает со всем множеством Жюлиа ${\displaystyle J}$ . Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа. Поскольку такое растяжение чаще всего происходит достаточно быстро, голоморфные отображения конформны , а множество Жюлиа относительно динамики — оно оказывается имеющим фрактальную структуру : его маленькие части похожи на большие.

Если множество Жюлиа отлично от всей сферы Римана , то оно не имеет внутренних точек .

Для всех точек ${\displaystyle z}$ сферы Римана, кроме, быть может, двух, множество предельных точек последовательности полных прообразов ${\displaystyle f^{-n}(z)}$ есть множество Жюлиа. Это свойство применяется в компьютерных алгоритмах построения множества Жюлиа.

Теорема Салливана утверждает, что любая компонента связности множества Фату предпериодична. В свою очередь, теорема о классификации периодических компонент множества Фату утверждает, что периодические компоненты бывают одного из четырёх типов: притягивающей или суперпритягивающей неподвижной или периодической точки, параболической точки, диск Зигеля и кольцо Эрмана .

Связанные понятия

Квадратичное отображение ${\displaystyle z\mapsto P_{2}(z)}$ заменой координат всегда приводится к виду ${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$ . Оказывается, что множество Жюлиа будет связным , тогда и только тогда, когда критическая точка z=0 (или, что то же самое, её образ ${\displaystyle z=c}$ ) не уходит на бесконечность. В случае, если итерации 0 стремятся к бесконечности, множество Жюлиа (совпадающее, в этом случае, с заполненным множеством Жюлиа) оказывается гомеоморфным канторову множеству и имеет меру ноль. В этом случае его называют пылью Фату (это именно множество Жюлиа — множество хаотической динамики).

Множество параметров ${\displaystyle c}$ , при которых множество Жюлиа квадратичной динамики связно, называется множеством Мандельброта . Оно также имеет фрактальную структуру (и является, вероятно, одним из наиболее знаменитых фракталов).

Численное построение

Метод сканирования границы (BSM)

Если функция ${\displaystyle f}$ имеет несколько аттракторов (неподвижных или периодических притягивающих точек), множество Жюлиа является границей бассейна притяжения любого из них. На этом свойстве основан алгоритм построения изображения множества Жюлиа, названный «методом сканирования границы» ( BSM , англ. boundary scanning method ): в нём рассматривается сетка из прямоугольных пикселей, чтобы определить, следует ли закрашивать пиксель как принадлежащий множеству Жюлиа, вычисляется образ каждого из его «углов» под действием большого числа итераций ${\displaystyle f}$ . Если образы далеки друг от друга, значит, углы принадлежат бассейнам разных аттракторов. Из этого следует, что граница между бассейнами проходит через данный пиксель, и он закрашивается. Перебирая все пиксели, получается изображение, приближающее множество Жюлиа.

Этот метод также можно использовать и в случае, когда двух аттракторов нет, но есть диски Зигеля , кольца Эрмана или параболические бассейны. (Если две близкие точки остаются близкими, значит, их орбиты устойчивы по Ляпунову, и небольшая окрестность этих точек принадлежит области Фату; иначе вблизи них имеются точки множества Жюлиа.) В то же время, данный метод не работает, когда отображение имеет лишь один аттрактор, и почти вся сфера Римана является его бассейном притяжения. (Например, ${\displaystyle z\mapsto z^{2}+i}$ .)

Метод вычисления обратных итераций (IIM)

Множество Жюлиа является замыканием объединения всех полных прообразов любой отталкивающей неподвижной точки. Таким образом, если имеется эффективный алгоритм вычисления обратного отображения ${\displaystyle f^{-1}}$ , и известна хотя бы одна отталкивающая неподвижная точка, для построения множества Жюлиа можно последовательно вычислять её обратные образы. На каждом шаге у каждой точки имеется столько же прообразов, какова степень ${\displaystyle f}$ , поэтому общее число прообразов растет экспоненциально, и хранение их координат требует больших объёмов памяти . На практике также используется следующая модификация: на каждом шаге выбирается один случайный прообраз. При этом, однако, нужно учитывать, что такой алгоритм обходит множество Жюлиа не равномерно: в некоторые области может попасть только за очень большое (практически недостижимое) время, и они не будут изображены на получающемся графике.

Галерея

• 
  Заполненное множество Жюлиа для отображения ${\displaystyle f(z)=z^{2}-1}$ . Осевая симметрия свидетельствует об отсутствии мнимой составляющей в свободном члене отображения ${\displaystyle f(z)}$
• 
  Заполненное множество Жюлиа для отображения ${\displaystyle f(z)=z^{2}+0{,}28+0{,}0113i}$ . Завихрения против часовой стрелки свидетельствуют о положительной мнимой составляющей в свободном члене отображения ${\displaystyle f(z)}$
• 
  Заполненное множество Жюлиа для ${\displaystyle f(z)=z^{5}-0{,}549653+0{,}003i}$
• 
  Заполненное множество Жюлиа для ${\displaystyle f(z)=z^{5}-{0{,}549653+0{,}003}i}$ (фрагмент)
• 
  Заполненное множество Жюлиа для ${\displaystyle f(z)=\cos z}$ . Центр изображения — начало координат ${\displaystyle 0+0i}$ , горизонтальный период орнамента равен ${\displaystyle \pi }$
• 
  Заполненное множество Жюлиа для ${\displaystyle f(z)=\sin z}$ . Если развернуть изображение на 90°, получится заполненное множество Жюлиа для ${\displaystyle f(z)=\operatorname {sh} z}$

Примечания

Ссылки

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4 .