Конфигурационное пространство в топологии — множество наборов различных точек заданного топологического пространства .

Выделяют два типа конфигурационных пространств: пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек данного пространства ${\displaystyle M}$ и пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ неупорядоченных наборов его ${\displaystyle n}$ различных точек, где ${\displaystyle n\geq 1}$ .

Введение

Понятие конфигурационного пространства естественно возникает во множестве областей математики и её приложений.

Конфигурационные пространства поверхностей , таких как евклидова плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ и сфера ${\displaystyle S^{2}}$ , тесно связаны с теорией кос и пространствами модулей . Кроме того, конфигурационные пространства многообразий возникают в различных задачах алгебраической топологии и могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространств непрерывных отображений . Широкие приложения допускает задача вычисления гомотопических типов конфигурационных пространств.

Например, пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$ наборов различных точек евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ является естественным контекстом гравитационной задачи ${\displaystyle n}$ тел . Так, существование периодических решений соответствующей гамильтоновой системы может быть получено путём изучения категории Люстерника — Шнирельмана и ряда Пуанкаре пространства петель ${\displaystyle \Omega \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$ .

Конфигурационные пространства возникают в задачах, известных под общим именем « Тринадцатая проблема Гильберта », а именно, в задаче представления ( многозначных ) алгебраических функций от нескольких переменных в виде композиции функций меньшего числа переменных . Классическим примером результата в данном направлении является утверждение о том, что при ${\displaystyle n\geq 4}$ функция, сопоставляющая набору ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ комплексных чисел множество из ${\displaystyle n}$ корней многочлена

${\displaystyle z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}}$ ,

не может быть представлена в виде композиции функций меньшего чем ${\displaystyle n-1}$ числа переменных . В 1970 году Владимир Игоревич Арнольд предложил подход к этой задаче, основанный на подсчёте конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , и доказал данное утверждение в случае, если число ${\displaystyle n}$ является степенью двойки .

Родственным к данному является естественное возникновение конфигурационных пространств в теории накрытий . Так, каждое ${\displaystyle n}$ -листное накрытие ${\displaystyle p\colon X\to Y}$ задаёт непрерывное отображение ${\displaystyle Y\to \operatorname {UConf} _{n}(X)}$ , сопоставляющее точке ${\displaystyle y\in Y}$ её полный прообраз ${\displaystyle p^{-1}(y)}$ . Данное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп

${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{1}(Y)\to B_{n}(X)}$ ,

где ${\displaystyle B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X))}$ — так называемая группа кос топологического пространства ${\displaystyle X}$ . Этот гомоморфизм является важным инвариантом накрытия ${\displaystyle p}$ .

Определение

Конфигурационное пространство упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек топологического пространства ${\displaystyle M}$ — это множество ${\displaystyle n}$ -компонентных кортежей попарно различных элементов из ${\displaystyle M}$ , то есть подмножество

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M):=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in M^{n}\mid x_{i}\neq x_{j}}$ для всех ${\displaystyle i\neq j\}}$

декартовой степени ${\displaystyle M^{n}}$ , рассматриваемое с топологией, индуцированной с топологии произведения на ${\displaystyle M^{n}}$ . Также используются обозначения ${\displaystyle \operatorname {Conf} (M,n)}$ , ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{n}(M)}$ и ${\displaystyle \mathbb {F} _{n}(M)}$ .

Конфигурационное пространство неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек топологического пространства ${\displaystyle M}$ — это пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ его ${\displaystyle n}$ -элементных подмножеств . Иными словами, это факторпространство пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ по отношению, при котором два кортежа эквивалентны, если один может быть получен из другого перестановкой компонент. Также используются обозначения ${\displaystyle \operatorname {Conf} (M,n)/S_{n}}$ , ${\displaystyle {\mathcal {UC}}^{n}(M)}$ и ${\displaystyle \mathbb {F} _{n}(M)/S_{n}}$ .

В вырожденном случае ${\displaystyle n=1}$ имеются равенства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{1}(M)=\operatorname {UConf} _{1}(M)=M}$ .

В литературе также встречаются следующие модификации предыдущих конструкций.

Пространство конечных упорядоченных наборов различных точек топологического пространства ${\displaystyle M}$ — это дизъюнктное объединение

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{<\infty }(M):=\coprod _{n\geq 0}\operatorname {Conf} _{n}(M)}$ .

Пространство конечных подмножеств топологического пространства ${\displaystyle M}$ — это дизъюнктное объединение

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{<\infty }(M):=\coprod _{n\geq 0}\operatorname {UConf} _{n}(M)}$ .

Свойства

Конфигурационные пространства гомеоморфных топологических пространств гомеоморфны.

В случае, если ${\displaystyle M}$ является топологическим многообразием (возможно, с непустым краем ) размерности ${\displaystyle m}$ , пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ и ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ являются многообразиями размерности ${\displaystyle n\cdot m}$ . Кроме того, если ${\displaystyle M}$ связно и ${\displaystyle m\geq 2}$ , то оба пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ и ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ связны .

Каноническая проекция ${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Conf} _{n}(M)\to \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ совпадает с канонической проекцией на факторпространство пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ по следующему действию симметрической группы :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(M)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(M)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)})\end{aligned}}}$ .

Поскольку данное действие непрерывно и вполне разрывно, отображение ${\displaystyle \pi }$ является накрытием , причем регулярным. Число его листов равно порядку группы ${\displaystyle S_{n}}$ , то есть ${\displaystyle n!}$ .

Евклидовы пространства

Конфигурационные пространства некоторых евклидовых пространств можно описать в следующих элементарных терминах.

Прямая

Вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ гомеоморфна единичному интервалу ${\displaystyle (0,1)}$ , поэтому для изучения структуры конфигурационных пространств прямой достаточно рассматривать конфигурационные пространства такого интервала. Они, в свою очередь, допускают следующие описания.

Каждый элемент пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}((0,1))}$ неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек интервала ${\displaystyle (0,1)}$ задаётся такой последовательностью ${\displaystyle (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})}$ вещественных чисел, что

${\displaystyle 0<s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<1}$ .

Непосредственно из его определения следует, что такая последовательность соответствует внутренней точке симплекса размерности ${\displaystyle n}$ , причем данная кодировка непрерывно зависит от исходной последовательности. Таким образом, пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}((0,1))}$ гомеоморфно внутренности ${\displaystyle n}$ -мерного симплекса . Например, пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}((0,1))}$ гомеоморфно внутренности треугольника , а пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{3}((0,1))}$ — внутренности тетраэдра .

Каждый неупорядоченный набор ${\displaystyle n}$ различных точек единичного интервала ${\displaystyle (0,1)}$ можно упорядочить ровно ${\displaystyle n!}$ способами. Таким образом, пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}((0,1))}$ гомеоморфно дизъюнктному объединению ${\displaystyle n!}$ копий пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}((0,1))}$ .

В частности, каждая компонента связности пространств ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}((0,1))}$ и ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}((0,1))}$ стягиваема . Более того, в обоих случаях множество конфигураций, в которых соседние точки (вместе с точками ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ ) равноудалены друг от друга, является деформационным ретрактом объемлющего пространства: каждый «‎‎неровный» набор может быть деформирован в «‎‎ровный» путём равномерного расталкивания или сближения его элементов.

Пары точек в евклидовых пространствах

Пара ${\displaystyle (x,y)}$ различных точек на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ однозначно определяется первой точкой ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$ и вектором ${\displaystyle y-x\in \mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}}$ , отвечающем за расположение второй точки относительно первой. Данная кодировка непрерывно зависит от исходной пары точек. Следовательно, конфигурационное пространство таких точек гомеоморфно произведению плоскости и проколотой плоскости:

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbb {R} ^{2})\cong \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\backslash \{0\}}$ .

Данный подход обобщается на произвольное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ . А именно, отображение ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y-x)}$ устанавливает гомеоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m}\times (\mathbb {R} ^{m}\backslash \{0\})}$ .

Стоит отметить, что в общем случае ${\displaystyle n\geq 2}$ отображение

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},x_{1}-x_{2},x_{1}-x_{3},\ldots ,x_{1}-x_{n})}$

устанавливает гомеоморфизм

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m}\times \operatorname {Conf} _{n-1}(\mathbb {R} ^{m}\backslash \{0\})}$ .

Похожую кодировку допускает пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})}$ двухэлементных подмножеств евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ . Так, подобные подмножества ${\displaystyle \{x,y\}}$ однозначно определяются своим центром масс ${\displaystyle (x+y)/2\in \mathbb {R} ^{m}}$ , расстоянием ${\displaystyle |x-y|\in (0,\infty )}$ и прямой, проходящей через эти точки, которая представляет собой элемент ${\displaystyle \langle x-y\rangle \in \mathbb {R} P^{m-1}}$ размерности ${\displaystyle m-1}$ . Таким образом,

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})\cong \mathbb {R} ^{m}\times (0,\infty )\times \mathbb {R} P^{m-1}\cong \mathbb {R} ^{m+1}\times \mathbb {R} P^{m-1}}$ .

В частности, пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})}$ и ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(\mathbb {R} ^{m})}$ гомотопически эквивалентны , соответственно, пространствам ${\displaystyle S^{m-1}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} P^{m-1}}$ .

Плоскость

Конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ допускает следующую интерпретацию в терминах многочленов без кратных корней, предложенную Владимиром Игоревичем Арнольдом в его работе 1970 года .

Отождествим плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с комплексной плоскостью ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Множество всех приведённых многочленов степени ${\displaystyle n}$ одной комплексной переменной, то есть многочленов вида

${\displaystyle z^{n}+a_{1}z^{n-1}+a_{2}z^{n-2}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}}$ ,

где ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C} }$ , может быть отождествлено с произведением ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ . Согласно основной теореме алгебры , сопоставление набору ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ комплексных чисел многочлена

${\displaystyle (z-x_{1})(z-x_{2})\cdot \ldots \cdot (z-x_{n})}$

задаёт сюръективное отображение произведения ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ в пространство таких многочленов. В терминах предыдущего отождествления оно может быть задано формулой

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto (p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$ ,

где ${\displaystyle p_{k}}$ — значение элементарного симметрического многочлена степени ${\displaystyle k}$ от ${\displaystyle n}$ переменных на кортеже ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ . Образом сужения этого отображения на конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {C} )}$ является множество многочленов без кратных корней. Данное сужение индуцирует гомеоморфизм между конфигурационным пространством ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {C} )}$ и множеством приведённых многочленов степени ${\displaystyle n}$ без кратных корней одной комплексной переменной.

Изучение свойств гомеоморфизма, обратного к указанному выше, является одной из основных тем в классической теории Галуа .

Тройки точек на плоскости

Конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {C} )}$ трёхэлементных подмножеств комплексной плоскости и внутренность дополнения узла трилистника гомотопически эквивалентны. Данная гомотопическая эквивалентность может быть установлена следующим образом .

Как отмечено выше, пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {C} )}$ гомеоморфно пространству кубических приведённых многочленов одной комплексной переменной, не имеющих кратных корней: конфигурации ${\displaystyle \{a,b,c\}\subset \mathbb {C} }$ соответствует многочлен

${\displaystyle f(z):=(z-a)(z-b)(z-c)=z^{3}-(a+b+c)z^{2}+(ab+ac+bc)z-abc}$ .

Подпространство многочленов вида ${\displaystyle z^{3}+pz+q}$ , где ${\displaystyle p,q\in \mathbb {C} }$ , является деформационным ретрактом объемлющего пространства многочленов. А именно, искомая деформация многочленов переносит центр масс их корней в начало координат и задаётся формулой

${\displaystyle f(z)\mapsto f_{t}(z):=f(z+t(a+b+c)/3)}$ .

Многочлен вида ${\displaystyle z^{3}+pz+q}$ не имеет кратных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант ${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}}$ не равен нулю. Поэтому пространство таких многочленов гомеоморфно подпространству

${\displaystyle X:=\{(p,q)\in \mathbb {C} ^{2}\mid 4p^{3}+27q^{2}\neq 0\}}$

пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ . Далее, пространство

${\displaystyle Y:=\{(p,q)\in \mathbb {C} ^{2}\mid 4p^{3}+27q^{2}\neq 0,\ |p|^{2}+|q|^{2}=1\}}$

является деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle X}$ . А именно, искомая ретракция представляет собой «подкрученную» радиальную проекцию вида ${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda ^{2}\cdot x,\lambda ^{3}\cdot y)}$ , где ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ — определённая константа .

Поскольку уравнение ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0}$ высекает в трёхмерной сфере

${\displaystyle S^{3}=\{(p,q)\in \mathbb {C} ^{2}:|p|^{2}+|q|^{2}=1\}}$

узел трилистник , пространство ${\displaystyle Y}$ совпадает со внутренностью его дополнения.

Сферы

Окружность

Конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(S^{1})}$ окружности допускает следующее описание в терминах конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n-1}((0,1))}$ интервала.

Введём на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ координаты, отождествив её со стандартной единичной окружностью на комплексной плоскости . Тогда отображение

${\displaystyle (z,s_{1},\ldots ,s_{n-1})\mapsto (z,z\cdot e^{2\pi is_{1}},\ldots ,z\cdot e^{2\pi is_{n-1}})}$

осуществляет гомеоморфизм ${\displaystyle S^{1}\times \operatorname {Conf} _{n-1}((0,1))\to \operatorname {Conf} _{n}(S^{1})}$ . Таким образом, конфигурационное пространство упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек окружности гомеоморфно произведению окружности и дизъюнктного объединения ${\displaystyle (n-1)!}$ копий открытых симплексов размерности ${\displaystyle n-1}$ .

В частности, пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(S^{1})}$ гомотопически эквивалентно дизъюнктному объединению окружностей. Точнее, подобно случаю интервала, множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом объемлющего пространства.

Аналогичные рассуждения показывают, что множество конфигураций, расположенных в форме правильного многоугольника, является деформационным ретрактом конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(S^{1})}$ . Это множество гомеоморфно окружности, и тем самым, конфигурационное пространство гомотопически эквивалентно окружности.

Пары точек на сферах

Конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{1})}$ пар различных точек на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ совпадает с дополнением простой замкнутой кривой ${\displaystyle \{(x,x)\mid x\in S^{1}\}}$ до тора ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ .

Имеется также следующая наглядная кодировка элементов ${\displaystyle (x,y)}$ пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{1})}$ . Для ${\displaystyle x\in S^{1}}$ стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм ${\displaystyle S^{1}\backslash \{x\}\cong \mathbb {R} }$ . Точнее, в случае окружности возможно сопоставить точке ${\displaystyle y\in S^{1}\backslash \{x\}}$ координату на дуге ${\displaystyle S^{1}\backslash \{x\}}$ , проложенной в положительном направлении окружности. Данная кодировка непрерывна и устанавливает гомеоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{2})\cong S^{1}\times \mathbb {R} }$

конфигурационного пространства пар различных точек на окружности с бесконечным цилиндром.

Данный подход частично обобщается на произвольную сферу ${\displaystyle S^{m}}$ . Для ${\displaystyle x\in S^{m}}$ стереографическая проекция осуществляет гомеоморфизм ${\displaystyle S^{m}\backslash \{x\}\cong \mathbb {R} ^{m}}$ . Однако в общем случае может не быть естественного способа сопоставить подобную координату каждой точке ${\displaystyle y\in S^{m}\backslash \{x\}}$ так, чтобы кодировка осуществляла гомеоморфизм пространств ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{m})}$ и ${\displaystyle S^{m}\times \mathbb {R} ^{m}}$ . В действительности, она осуществляет гомеоморфизм

${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{m})\cong TS^{m}}$

между конфигурационным пространством пар различных точек на сфере ${\displaystyle S^{m}}$ и его касательным пространством ${\displaystyle TS^{m}}$ сферы ${\displaystyle S^{m}}$ . Кроме того, отображение

${\displaystyle S^{m}\to \operatorname {Conf} _{2}(S^{m})}$ ,

заданное формулой ${\displaystyle x\to (x,-x)}$ , является гомотопической эквивалентностью . Стоит отметить, что препятствием к гомеоморфности пространств ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{m})}$ и ${\displaystyle S^{m}\times \mathbb {R} ^{m}}$ является непараллелизуемость сферы ${\displaystyle S^{m}}$ , имеющая место при ${\displaystyle m\neq 1,3,7}$ .

Конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(S^{1})}$ двухэлементных подмножеств окружности ${\displaystyle S^{1}}$ может быть получено из пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{1})}$ следующим образом. Представим тор ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ в виде факторпространства квадрата ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ по отношению ${\displaystyle (0,y)\sim (1,y)}$ и ${\displaystyle (x,0)\sim (x,1)}$ , где ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ . Тогда пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{2}(S^{1})}$ получается из данного факторпространства удалением диагонали ${\displaystyle \{(x,x)|x\in [0,1]\}}$ . Чтобы получить искомое пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(S^{1})}$ , требуется отождествить точки полученного пространства, симметричные относительно данной диагонали: ${\displaystyle (x,y)\sim (y,x)}$ . Подобное отождествление равносильно представлению пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(S^{1})}$ в виде факторпространства прямоугольного треугольника с вырезанной гипотенузой

${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in [0,1],\,y\in [0,x)\}}$

по отношению ${\displaystyle (0,x)\sim (1,x)}$ , где ${\displaystyle x\in [0,1]}$ . Такое факторпространство гомеоморфно внутренности ленты Мёбиуса .

В общем случае сферы ${\displaystyle S^{m}}$ конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(S^{m})}$ допускает следующее описание.

Подмножество этого пространства, состоящее из элементов вида ${\displaystyle \{x,-x\}}$ , где ${\displaystyle x\in S^{m}}$ , гомеоморфно вещественному проективному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} P^{m}}$ : паре диаметрально противоположных точек на ${\displaystyle S^{m}}$ соответствует прямая в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ . Данное подмножество является деформационным ретрактом объемлющего пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(S^{m})}$ : каждая неантиподальная пара ${\displaystyle \{x,y\}}$ может быть равномерно деформирована в антиподальную путём расталкивания точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ вдоль единственной содержащей их большой окружности сферы ${\displaystyle S^{m}}$ . Например, в случае ${\displaystyle m=1}$ искомое проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$ вкладывается посредством вышеописанного гомеоморфизма во внутренность ленты Мёбиуса в виде её сердцевины (или средней окружности), а деформационная ретракция стягивает каждый перпендикулярный сердцевине интервал ленты Мёбиуса в точку.

Само пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{2}(S^{m})}$ гомеоморфно тотальному пространству ${\displaystyle m}$ -мерного векторного расслоения ${\displaystyle \gamma ^{\bot }}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} P^{m}}$ , где символ ${\displaystyle \gamma \subset \mathbb {R} ^{m+1}}$ обозначает одномерное тавтологическое расслоение над ${\displaystyle \mathbb {R} P^{m}}$ , а символ ${\displaystyle \gamma ^{\bot }}$ — его ортогональное дополнение .

Тройки точек на сферах

Конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{3}(S^{2})}$ допускает следующее описание.

Отождествим сферу ${\displaystyle S^{2}}$ с размерности один, то есть со сферой Римана ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ . Тогда для любой тройки ${\displaystyle (a,b,c)\in \operatorname {Conf} _{3}(\mathbb {C} P^{1})}$ отображение

${\displaystyle f\mapsto (f(a),f(b),f(c))}$

устанавливает гомеоморфизм

${\displaystyle {\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )\cong \operatorname {Conf} _{3}(\operatorname {Conf} _{3}(\mathbb {C} P^{1}))}$

между проективной группой преобразований Мёбиуса и конфигурационным пространством троек различных точек сферы . Стоит отметить, что в общем случае ${\displaystyle n\geq 3}$ для любой тройки ${\displaystyle (a,b,c)\in \operatorname {Conf} _{3}(S^{2})}$ отображение

${\displaystyle (f,x_{1},\ldots ,x_{n-3})\mapsto (f(a),f(b),f(c),f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots ,f(x_{n-3}))}$

устанавливает гомеоморфизм

${\displaystyle {\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )\times \operatorname {Conf} _{n-3}(S^{3}\backslash \{a,b,c\})\cong \operatorname {Conf} _{n}(S^{2})}$ .

${\displaystyle {\rm {PSU}}_{2}(\mathbb {C} )}$ является максимальной компактной подгруппой группы ${\displaystyle {\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )}$ и, следовательно, её деформационным ретрактом . Поскольку она гомеоморфна специальной ортогональной группе ${\displaystyle {\rm {SO}}_{3}(\mathbb {R} )}$ и гомеоморфна трёхмерному вещественному проективному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$ , можно заключить, что конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{3}(S^{2})}$ гомотопически эквивалентно данным пространствам .

Последняя гомотопическая эквивалентность следующим образом обобщается на произвольную сферу ${\displaystyle S^{m}}$ .

Отображение

${\displaystyle (p,v)\mapsto (p,{\rm {exp}}(v),{\rm {exp}}(-v))}$

задаёт вложение

${\displaystyle UTS^{m}\to \operatorname {Conf} _{3}(S^{m})}$

сферы ${\displaystyle S^{m}}$ в конфигурационное пространство, где символ

${\displaystyle {\rm {exp}}\colon TS^{m}\to S^{m}}$

обозначает экспоненциальное отображение . Образ этого вложения является деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{3}(S^{m})}$ . Пространство ${\displaystyle UTS^{m}}$ гомеоморфно ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{m+1})}$ ортонормированных ${\displaystyle 2}$ -реперов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ . В случае ${\displaystyle m=2}$ имеется гомеоморфизм ${\displaystyle V_{2}(\mathbb {R} ^{3})\cong {\rm {SO}}_{3}(\mathbb {R} )}$ .

Роль в теории кос

Конфигурационные пространства представляют собой естественную среду для изучения и развития теории кос . Связь с косами состоит в следующем .

Пусть ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\colon [0,1]\to M}$ — совокупность из ${\displaystyle n}$ путей попарно различных в каждый момент времени точек в пространстве ${\displaystyle M}$ , то есть путей, для которых выполняются условия ${\displaystyle s_{i}(t)\neq s_{j}(t)}$ при всех ${\displaystyle i\neq j}$ и ${\displaystyle t\in [0,1]}$ . Такая совокупность естественным образом задаёт путь в каждом из конфигурационных пространств ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ и ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ , или, иными словами, непрерывное семейство конфигураций точек в ${\displaystyle M}$ . Заданный так путь замкнут, то есть является петлей , если его конечная конфигурация совпадает с начальной. В случае пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ это означает равенство точек ${\displaystyle s_{k}(1)=s_{k}(0)}$ для всех ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ , а в случае пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ — равенство множеств

${\displaystyle \{s_{1}(1),\ldots ,s_{n}(1)\}=\{s_{1}(0),\ldots ,s_{n}(0)\}}$ .

Пусть теперь ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$ . Если подобная совокупность путей ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ задаёт петлю в пространстве ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ , то она определяет набор кривых

${\displaystyle [0,1]\times \{1,2,\ldots ,n\}\to \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]}$ ,

заданный формулой ${\displaystyle (t,k)\mapsto (s_{k}(t),t)}$ , который представляет собой геометрическую косу из ${\displaystyle n}$ нитей. А если пути задают петлю в пространстве ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ , то полученная коса является крашеной , то есть конец каждой её нити находится на том же уровне, что и начало.

В действительности фундаментальная группа конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(X)}$ неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек изоморфна группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ , а фундаментальная группа конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(X)}$ упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек изоморфна группе крашеных кос ${\displaystyle P_{n}}$ .

Группа кос топологического пространства

Группой кос и группой крашеных кос из ${\displaystyle n}$ нитей топологического пространства ${\displaystyle M}$ называются , соответственно, группы

${\displaystyle B_{n}(M):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(M))}$ и

${\displaystyle P_{n}(M):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(M))}$ .

Например, так как

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{1}(M)=\operatorname {Conf} _{1}(M)=M}$ ,

имеются равенства

${\displaystyle B_{1}(M)=P_{1}(M)=\pi _{1}(M)}$ .

Иными словами, группы кос обобщают фундаментальную группу. Кроме того, группы кос поверхностей тесно связаны с их группами классов отображений .

Каждому элементу ${\displaystyle \beta \in B_{n}(X)}$ можно сопоставить элемент симметрической группы , а именно, перестановку ${\displaystyle \tau (\beta )\in S_{n}}$ компонент соответствующего упорядоченного кортежа. Иными словами, эта перестановка определяется листом, содержащем конец поднятия петли ${\displaystyle \beta }$ относительно накрытия

${\displaystyle \pi \colon \operatorname {Conf} _{n}(X)\to \operatorname {UConf} _{n}(X)}$ .

Функция ${\displaystyle \tau }$ является гомоморфизмом и задаёт короткую точную последовательность

${\displaystyle 1\to P_{n}(X)\to B_{n}(X)\to S_{n}\to 1}$ .

Приложения

Электростатическое отображение

Конфигурационные пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})}$ могут быть использованы для гомотопической аппроксимации пространства ${\displaystyle {\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})}$ сохраняющих отмеченные точки непрерывных отображений сферы ${\displaystyle S^{m}}$ в себя, рассматриваемого с компактно-открытой топологией . Интерес к изучению гомотопического типа данного пространства вызван тем, что, согласно , оно гомеоморфно следующему итерированному пространству петель :

${\displaystyle {\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})\cong \Omega ^{m}S^{m}}$ .

Таким образом, его гомотопические группы изоморфны гомотопическим группам сферы ${\displaystyle S^{m}}$ :

${\displaystyle \pi _{k}({\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m}))\cong \pi _{k}(\Omega ^{m}S^{m})\cong \pi _{k+m}(S^{m})}$ .

Классический подход к аппроксимации состоит в следующем .

Сопоставим каждому конечному подмножеству ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{m}}$ из ${\displaystyle n}$ элементов следующее непрерывное отображение из сферы ${\displaystyle S^{m}}$ в себя.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\backslash \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\to \mathbb {R} ^{m}}$ — векторное поле , представляющее собой электрическое поле , полученное путём размещения положительно заряженной частицы в каждую точку ${\displaystyle x_{i}}$ . Данное векторное поле можно доопределить до непрерывного отображения

${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\cup \{\infty \}\to \mathbb {R} ^{m}\cup \{\infty \}}$

одноточечных компактификаций правилами ${\displaystyle \infty \mapsto 0}$ и ${\displaystyle x_{i}\mapsto \infty }$ , где ${\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ . Композиция с гомеоморфизмом ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\cup \{\infty \}\cong S^{m}}$ задаёт искомое непрерывное отображение из сферы ${\displaystyle S^{m}}$ в себя. Его степень равна ${\displaystyle n}$ .

Таким образом заданное сопоставление определяет непрерывное отображение

${\displaystyle e\colon \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})\to {\rm {Maps}}_{n}^{\ast }(S^{m},S^{m})}$

из конфигурационного пространства неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек в подпространство пространства непрерывных отображений ${\displaystyle S^{m}\to S^{m}}$ , состоящее из отображений степени ${\displaystyle n}$ , переводящих отмеченную точку ${\displaystyle \infty }$ слева в отмеченную точку ${\displaystyle 0}$ справа. Оно называется электростатическим отображением и задаёт отображение

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{<\infty }(\mathbb {R} ^{m})\to {\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})}$

из конфигурационного пространства конечных подмножеств.

Электростатическое отображение используется для гомотопической аппроксимации пространства ${\displaystyle {\rm {Maps}}^{\ast }(S^{m},S^{m})}$ . Например, в простейшем случае ${\displaystyle m=1}$ оно является слабой гомотопической эквивалентностью . Точнее, каждая компонента ${\displaystyle {\rm {Maps}}_{n}(S^{1},S^{1})}$ пространства ${\displaystyle {\rm {Maps}}(S^{1},S^{1})}$ стягиваема: множество отображений вида ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ , где ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ , является его деформационным ретрактом . Пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{1})}$ также стягиваемо и гомеоморфно внутренности симплекса размерности ${\displaystyle n}$ .

В общем случае отображение ${\displaystyle e}$ индуцирует изоморфизм

${\displaystyle e_{*}\colon H_{p}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{m});\mathbb {Z} )\to H_{p}({\rm {Maps}}_{n}^{\ast }(S^{m},S^{m});\mathbb {Z} )}$

групп гомологий в размерности ${\displaystyle p\leq n/2}$ .

В случае ${\displaystyle m=2}$ данный результат свидетельствует о связи между гомотопическими свойствами конфигурационных пространств ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ и пространства ${\displaystyle {\rm {Maps}}(S^{2},S^{2})}$ . Например, он предоставляет подход к вычислению группы

${\displaystyle \pi _{k}({\rm {Maps}}^{\ast }(S^{2},S^{2}))\cong \pi _{k+2}(S^{2})}$ .

Поскольку пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ является асферическим , все его гомотопические свойства могут быть описаны в терминах его фундаментальной группы, изоморфной группе кос. Данный факт является косвенным подтверждением известной связи между группами кос и гомотопическими группами двумерной сферы .

Вариации и обобщения

Вышеописанные конструкции допускают следующее обобщение. Пусть ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle M}$ — топологические пространства. Пространство конфигураций ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle M}$ — это множество ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(M)}$ всех топологических вложений пространства ${\displaystyle S}$ в пространство ${\displaystyle M}$ . Данное подмножество множества всех непрерывных отображений из ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle M}$ рассматривается с топологией, индуцированной с компактно-открытой топологии .

В случае, если ${\displaystyle S}$ является конечным множеством мощности ${\displaystyle n}$ с дискретной топологией, то пространство ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{S}(M)}$ гомеоморфно пространству ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(M)}$ .

Аналогично можно определить обобщение ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{S}(M)}$ пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(M)}$ .

См. также

• Конфигурационное пространство (физика)

Примечания

Литература

• Кассель, К. , Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Berrick, J. , Cohen, F. R. , Hanbury, E. , Wong, Y. L. , Wu, J . Braids: Introductory Lectures on Braids, Configurations and Their Applications (англ.) . — World Scientific , 2009. — Vol. 19. — 416 p. — (Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore). — doi : .
• Ghrist, R. W . (англ.) . — , 2014. — 269 p. — ISBN 978-1502880857 .
• Fadell, E. R. , Husseini, S. Y . Geometry and Topology of Configuration Spaces (англ.) . — Springer , 2001. — 313 p. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-642-56446-8 . — doi : .
• Прасолов В. В. , Сосинский А. Б . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .

Ссылки

• Westerland, C . (англ.) // Australian Mathematical Society Gazette. — 2011. — Vol. 38 , no. 5 . — P. 279–283 .
• Арнольд, В. И . // Труды Московского математического общества. — 1970. — Т. 21 . — С. 27–46 .
• Арнольд, В. И . // Функциональный анализ и его приложения . — 1970. — Т. 4 , вып. 2 . — С. 1–9 .
• Лин, В. Я . // Функциональный анализ и его приложения . — 2011. — Т. 45 , вып. 3 . — С. 55–78 . — doi : .
• Cohen, F. R. , Wu, J . (англ.) // Geometry & Topology Monographs . — 2008. — Vol. 13 . — P. 169–193 . — doi : . — arXiv : .
• Segal, G. B . (англ.) // Inventiones Mathematicae . — 1973. — Vol. 21 . — P. 213–221 . — doi : .
• Yury Ustinovskiy. (англ.) . MathOverflow (8 сентября 2015). Дата обращения: 26 марта 2023.