Равносторонний многоугольник — многоугольник , у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб , и квадрат является частным случаем ромба.

Свойства

Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником .

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным ).

Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если ${\displaystyle n}$ — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный .

Все равносторонние четырёхугольники , но существуют равносторонние пятиугольники , как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.

Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной ${\displaystyle a}$ существует главная диагональ ${\displaystyle d_{1}}$ , такая что:

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2}$ ,

и главная диагональ ${\displaystyle d_{2}}$ , такая, что:

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$ .

Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный .

Теорема Вивиани

Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников . Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов ${\displaystyle (a_{i},b_{i})}$ , притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=0}$ , ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}=0}$ .

Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы ${\displaystyle (-b_{i},a_{i})}$ , и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону ${\displaystyle i}$ будет задаваться уравнением ${\displaystyle -b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0}$ . Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки ${\displaystyle (x,y)}$ плоскости будет равно ${\displaystyle -b_{i}x+a_{i}y+c_{i}}$ (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum _{i=1}^{n}b_{i}+y\sum _{i=1}^{n}a_{i}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}}$ , то есть, не зависит от положения точки.

Площадь и периметр равносторонних многоугольников

• Если ${\displaystyle n}$ нечётно, то правильный ${\displaystyle n}$ -угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр .
• Правильный ${\displaystyle n}$ -угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если ${\displaystyle n}$ нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при ${\displaystyle n}$ нечётном решение единственно только для простых ${\displaystyle n}$ .
• Если ${\displaystyle n}$ чётно и ${\displaystyle n\geqslant 6}$ , то правильный ${\displaystyle n}$ -угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
• Если ${\displaystyle n}$ имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.

См. также

Примечания

Ссылки

• With interactive animation
• a discussion of Viviani’s theorem at Cut-the-knot .