Множество Витали — первый пример множества вещественных чисел , не имеющего меры Лебега . Этот пример, ставший классическим, описал итальянский математик Джузеппе Витали в 1905 году.

История

Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры , однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора .

Построение

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на отрезке ${\displaystyle [0,\;1]}$ : ${\displaystyle x\sim y}$ если разница ${\displaystyle x-y}$ рациональна . Как обычно, это отношение эквивалентности разбивает интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$ на классы эквивалентности, каждый из которых имеет счётную мощность, но их количество имеет мощность континуума . Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора ). Тогда полученное множество ${\displaystyle E}$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть ${\displaystyle E}$ счётное число раз на все рациональные числа из интервала ${\displaystyle [-1,1]}$ , то объединение будет содержать весь отрезок ${\displaystyle [0,1],}$ но при этом оно будет содержаться в отрезке ${\displaystyle [-1,2]}$ . При этом «сдвинутые копии» множества ${\displaystyle E}$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения ${\displaystyle \sim }$ и ${\displaystyle E}$ .

Предположим, что ${\displaystyle E}$ измеримо по Лебегу , тогда возможны 2 варианта.

• Мера E равна нулю. Тогда мера интервала ${\displaystyle [0,1]}$ , как счётного объединения множеств меры нуль, тоже будет равна нулю.
• Мера E больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера интервала ${\displaystyle [-1,2]}$ , в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.

В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.

Примечания

Литература

• Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века // Историко-математические исследования . — М. : Наука , 1986. — № 30 . — С. 97—112 .
• Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М. : ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6 . .
• Ященко И. В. Серия «Библиотека „ Математическое просвещение “», выпуск 20, 2002. ISBN 5-94057-003-8

Ссылки