Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение , согласно которому для каждого целого ${\displaystyle n>1}$ существует такое число ${\displaystyle k=k(n)}$ , что всякое натуральное число ${\displaystyle N}$ может быть представлено в виде:

${\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad }$

с целыми неотрицательными ${\displaystyle x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}}$ .

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом , доказана Гильбертом в 1909 году . Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня .

Основные результаты

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено ${\displaystyle k=4}$ для проблемы в случае ${\displaystyle n=2}$ .

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом , оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд , разработав для этого специальный круговой метод . Они ввели две функции — ${\displaystyle g(n)}$ и ${\displaystyle G(n)}$ ; ${\displaystyle g(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что проблема Варинга разрешима при ${\displaystyle N\geqslant 1}$ ; ${\displaystyle G(n)}$ — наименьшее ${\displaystyle k}$ такое, что проблема Варинга разрешима при ${\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}$ . (Ясно, что ${\displaystyle G(n)\leqslant g(n)}$ .) Харди и Литтлвуд дали для ${\displaystyle G(n)}$ оценку снизу ${\displaystyle n<G(n)}$ , которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов .

Функция ${\displaystyle g(n)}$ известна. Для более фундаментальной функции ${\displaystyle G(n)}$ получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых ${\displaystyle n}$ .

Функция g ( n )

Иоганн Эйлер , сын Леонарда Эйлера , предположил около 1772 года , что:

${\displaystyle g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2}$ .

В 1940-е годы Леонард Диксон , ( англ. ), ( англ. ) и Нивен с учётом результата ( нем. ) доказали, что это верно за исключением конечного числа значений ${\displaystyle n}$ , превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений ${\displaystyle g(n)}$ :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …

Примечательно, что, например, для ${\displaystyle n=3}$ только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G ( n )

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм , это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для ${\displaystyle G(n)}$ . После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

${\displaystyle G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n}$ .

Применяя сконструированную им ${\displaystyle p}$ -адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил эту оценку. При ${\displaystyle n\geqslant 400}$ :

${\displaystyle G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n}$ .

В дальнейшем оценку улучшил Вули , сначала в работе 1992 года , затем — в 1995 году :

${\displaystyle G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)}$ .

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью , в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года .

Границы
4 ≤ G (2) ≤ 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 ≤ G (4) ≤ 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Фактически величина ${\displaystyle G(n)}$ известна только для 2 значений аргумента, именно ${\displaystyle G(2)=4}$ и ${\displaystyle G(4)=16}$ .

Сумма квадратов: G(2)

В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом ${\displaystyle G(2)=4}$ .

Сумма кубов: G(3)

Легко доказать, что ${\displaystyle G(3)\geqslant 4}$ . Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что ${\displaystyle G(3)\leqslant 7}$ в 1943 году . Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть ${\displaystyle G(3)=4}$ ), так как из чисел, меньших 1.3⋅10 ⁹ , последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью . Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число . Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850 соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676 соответственно.

Сумма четвёртых степеней: G(4)

Известно значение для ${\displaystyle G(4)}$ — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт .

• Для чисел вида 31·16 ⁿ необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
• Число 79 требует 19 четвёртых степеней.
• Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней.

Любое число, большее 13 792, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10 ²⁴⁵ в 2000 году , а для остальных чисел в 2005 году улучшением результата Дэвенпорта.

Сумма пятых степеней: G(5)

617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10 ⁹ , которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10 ⁹ , которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что ${\displaystyle G(5)<G(4)}$ .

Помимо точных значений ${\displaystyle G(n)}$ открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми» .

Обобщения

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха .

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху ${\displaystyle O(n^{2}\log n)}$ .

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков , однако в единственной статье 2009 года даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха .

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной ${\displaystyle 2}$ .

Все натуральные числа, за исключением чисел вида ${\displaystyle 4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots ,}$ представимы в виде ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ . Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу ${\displaystyle N}$ можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как ${\displaystyle (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1}$ и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из ${\displaystyle n^{2}}$ , то одним квадратом можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/2}}$ . Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к ${\displaystyle N}$ на расстояние порядка ${\displaystyle N^{1/4}}$ . А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

${\displaystyle \min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },}$

где ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$ — любое, ${\displaystyle N\geqslant N_{1}(\varepsilon )}$ . Заменить ${\displaystyle 1/4}$ в предыдущем рассуждении на ${\displaystyle 1/4-c}$ со сколь угодно малым фиксированным ${\displaystyle c>0}$ , не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века .

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n}$ ,

где ${\displaystyle N_{i}}$ — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$ , а ${\displaystyle x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }}$ — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$ , а если ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$ , то существуют такие ${\displaystyle N_{i}}$ , что система не имеет решений.

Родственные задачи

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел ${\displaystyle T_{n}={n+1 \choose 2}}$ , а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+10z^{2}}$ . Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи .

Примечания

Литература

• . — М. : «Сов. энциклопедия» , 1988. — С. .
• Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М. : Физматгиз, 1962. — С. 272.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases (англ.) . — Springer-Verlag , 1996. — Vol. 164. — ( ). — ISBN 0-387-94656-X .
• - содержит полное изложение метода Харди-Литтлвуда на русском языке