Максимальный тор
связной
вещественной
группы Ли
— связная
компактная
коммутативная подгруппа Ли
в
, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.
Свойства
-
Как группа Ли, максимальный тор
изоморфен
прямому произведению
нескольких копий
«окружности»
(мультипликативной группы всех
комплексных чисел
, равных по модулю
).
-
Всякий максимальный тор группы
содержится в максимальной компактной подгруппе группы
;
-
Любые два максимальных тора группы
(так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в
.
-
Пусть, далее,
является компактной группой.
-
Объединение всех максимальных торов группы
совпадает с
,
-
пересечение всех максимальных торов группы
совпадает с
центром
.
-
Алгебра Ли
максимального тора
является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли
группы
. Более того,
-
всякая максимальная коммутативная подалгебра в
так получается.
-
Централизатор
максимального тора
в
совпадает с
.
Литература
-
Понтрягин Л.С.
, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
-
Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
-
Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.