Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A , так и к точкам вне множества A .

Определение

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество , а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология . Пусть рассматривается множество ${\displaystyle A\subset X.}$ Тогда точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ называется грани́чной то́чкой мно́жества ${\displaystyle A}$ , только если для любой её окрестности ${\displaystyle U\ni x_{0},}$ целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:

${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing }$ и одновременно с этим ${\displaystyle U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .}$

Множество всех граничных точек множества ${\displaystyle A}$ называется границей множества ${\displaystyle A}$ ( в ${\displaystyle X}$ ) и обозначается ${\displaystyle \partial A}$ или ${\displaystyle \partial _{X}A}$ если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства ${\displaystyle X}$ .

Свойства

• ${\displaystyle \partial A=\partial \left(A^{\complement }\right);}$
• ${\displaystyle \partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };}$
• ${\displaystyle \partial A}$ — замкнутое множество ;
• ${\displaystyle A}$ — открытое множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A\cap \partial A=\emptyset ;}$
• ${\displaystyle A}$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \partial A\subset A;}$
• ${\displaystyle A}$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \partial A=\emptyset ;}$
• ${\displaystyle \partial \partial A\subset \partial A}$ , причем равенство ${\displaystyle \partial \partial A=\partial A}$ достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (\partial A)^{\circ }=\emptyset ;}$
• ${\displaystyle \partial \partial \partial A=\partial \partial A.}$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией . Тогда: для ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$ :

• Для ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$ : ${\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }(a,b)=\partial _{\mathbb {R} }(a,b]=\partial _{\mathbb {R} }[a,b)=\partial _{\mathbb {R} }[a,b]=\{a,b\};}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }\mathbb {R} =\varnothing ;}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbb {R} }\mathbb {Q} =\mathbb {R} .}$

При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.

Например, дана стандартная топология на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ Тогда граница открытого круга ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\}}$ относительно этой топологии равна окружности ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\},}$ потому что окрестность, с помощью понятия которой и граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}<1\},}$ так и с его дополнением ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\},}$ граничная точка должна быть на окружности ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x^{2}+y^{2}=1\}.}$

Если же рассмотреть стандартную топологию на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ то границей открытого круга ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}}$ будет замкнутый круг ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\leqslant 1\},}$ поскольку внутри ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}}$ относительно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ уже является ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}\geqslant 1\}\cup \mathbb {R} ^{2}\times (\mathbb {R} \setminus \{0\})}$ . Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}}$ уже будет попадать не только любая точка окружности ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}=1\},}$ но и любая точка исходного множества ${\displaystyle \{(x,y,0)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}<1\}.}$

См. также

• Край многообразия
• Замыкание (топология)