Interested Article - Семнадцатая проблема Гильберта

Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта , которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова:

Пусть дана рациональная функция от $n$ переменных с вещественными коэффициентами, которая во всех вещественных точках, где она определена, принимает неотрицательные значения. Можно ли представить её в виде суммы квадратов рациональных функций, все коэффициенты которых вещественны?

Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году , но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году .

Вариации и обобщения

Существуют многочлены , которые неотрицательны при всех вещественных значениях аргументов, но не могут быть представлены в виде суммы квадратов других многочленов. Существование таких примеров было доказано Гильбертом. Более явные примеры таких многочленов были даны в 1967 году .
- Например, многочлены
  
  $f(x,y)=x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-3)+1,$
  
  $g(x,y,z)=z^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}z^{2}$
не могут быть представлены в виде суммы квадратов многочленов с вещественными коэффициентами. Но их можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций, например,

$f(x,y)=\left({\tfrac {x^{2}y(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {xy^{2}(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {xy(x^{2}+y^{2}-2)}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}.$
Известны явные необходимые и достаточные условия того, что многочлен является суммой квадратов других многочленов.
С 1950-х годов известно, что возможность представить многочлен в виде суммы квадратов многочленов связана с решением многомерной степенной проблемы моментов.
Известно, что каждый неотрицательный многочлен может быть сколь угодно точно приближен (по $l_{1}$ -норме вектора его коэффициентов) многочленами, которые являются суммой квадратов многочленов.

Примечания

Hilbert, D. Über die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. Mathem. Annalen Bd 32, S. 342—350 (1888); см. также Hilbert, D. Gesammelte Abhandlungen. Zweiter Band. Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. (German) Chelsea Publishing Co., New York 1965 viii+453 p.
V. Powers, T. Wormann. (англ.) // Journal of pure and applied algebra : journal. — 1998. — Vol. 127 , no. 1 . — P. 99—104 . — doi : . 16 июня 2010 года.
Jean B. Lasserre. (англ.) // SIAM Rev. : journal. — 2007. — Vol. 49 , no. 4 . — P. 651—669 . — doi : . 18 апреля 2007 года.

Литература

/ Сборник под ред. П. С. Александрова . — М. : Наука, 1969. — 240 с.
В. В. Прасолов . . — М. : МЦНМО , 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1 .
C. N. Delzell. (англ.) // Invent. Math. : journal. — 1984. — Vol. 76 , no. 3 . — P. 365—384 . — doi : .