Разбиение интервала — такая конечная последовательность вещественных чисел ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ , что для некоторых вещественных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ , таких, что ${\displaystyle a\leqslant b}$ , выполняются соотношения

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b.}$

Разбиения используются в определениях интеграла Римана , интеграла Римана-Стилтьеса , регулируемого интеграла, а также вариации и длины кривой .

Связанные определения

• Уточнение разбиения ${\displaystyle P}$ — это другое разбиение ${\displaystyle Q}$ , заданное на данном интервале, которое содержит все точки ${\displaystyle P}$ , а также, возможно, некоторые другие точки; разбиение ${\displaystyle Q}$ называется «более тонким», чем ${\displaystyle P}$ .
• Нормой (также мелкостью, сеткой или шагом ) разбиения ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ называется длина самого длинного из интервалов между элементами разбиения, то есть величина

${\displaystyle \max _{i}|x_{i}-x_{i-1}|.}$

• Размеченное разбиение интервала — это разбиение интервала вместе с такой конечной последовательностью чисел ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ , что для каждого ${\displaystyle i}$

${\displaystyle x_{i}\leqslant t_{i}\leqslant x_{i+1}.}$

Иными словами, размеченное разбиение интервала это разбиение интервала вместе с отмеченной точкой каждого подынтервала; его норма определяется так же, как для обычного разбиения интервала. На множестве всех разбиений можно определить частичный порядок , положив, что одно размеченное разбиение интервала больше другого, если большее является уточнением меньшего.