Правильная квадратная мозаика . 1 color	* в их регулярной форме. 1 color
Шахматная квадратная мозаика 2 цвета	Шахматные * . 2 цвета
Растянутая квадратная мозаика 3 цвета	Растянутые кубические соты 4 цвета
4 цвета	8 цветов

Гиперкуби́ческие соты — семейство правильных сот ( замощений ) в пространстве размерности ${\displaystyle n}$ с символами Шлефли ${\displaystyle {4,3...3,4}}$ , имеющих симметрию группы Коксетера ${\displaystyle R_{n}}$ (или ${\displaystyle B_{n-1}^{~}}$ ) для ${\displaystyle n\geq 3}$ .

Соты строятся из четырёх ${\displaystyle n}$ -мерных гиперкубов на каждой ${\displaystyle (n-2)}$ -мерной грани. Вершинной фигурой является гипероктаэдр ${\displaystyle {3...3,4}}$ .

Гиперкубические соты являются самодвойственными .

Коксетер, Гарольд назвал это семейство ${\displaystyle \delta _{n}+1}$ (для ${\displaystyle n}$ -мерных сот).

Классы построения Витхоффа по размерности

Имеется два основных вида гиперкубических сот, правильная форма с идентичными фасетами гиперкубов и полуправильная с чередующимися фасетами, наподобие шахматной доски .

Третья форма образуется путём операции растяжения , применённой к правильной форме. В результате растяжения создаются фасеты на месте всех элементов меньшей размерности. Например, растянутые кубические соты имеют кубические ячейки с центрами исходных кубов, на исходных фасетах, на исходных рёбрах и на исходных вершинах, создавая тем самым ячейки 4-х цветов вокруг каждой вершины с соотношением 1:3:3:1.

Прямоугольные соты — это семейство топологически эквивалентных кубическим сот, но имеющих меньшую степень симметрии. В этих сотах каждое из трёх направлений может иметь отличную от других длину. Фасеты являются гиперпрямоугольниками (на плоскости это прямоугольники , а в трёхмерном пространстве — прямоугольные параллелепипеды ).

δ n	Название	Символы Шлефли	Диаграммы Коксетера — Дынкина
			Прямоугольные {∞} n (2 m цветов, m<n)	Правильные ( Растянутые ) {4,3 n-1 ,4} (1 цвет, n цветов)	Шахматные {4,3 n-4 ,3 1,1 } (2 цвета)
δ 2	Апейрогон	{∞}
δ 3	Квадратная мозаика	{∞} 2 {4,4}
δ 4	*	{∞} 3 {4,3,4} {4,3 1,1 }
δ 5		{∞} 4 {4,3 2 ,4} {4,3,3 1,1 }
δ 6		{∞} 5 {4,3 3 ,4} {4,3 2 ,3 1,1 }
δ 7		{∞} 6 {4,3 4 ,4} {4,3 3 ,3 1,1 }
δ 8		{∞} 7 {4,3 5 ,4} {4,3 4 ,3 1,1 }
δ 9		{∞} 8 {4,3 6 ,4} {4,3 5 ,3 1,1 }
δ n	Кубические n-мерные соты	{∞} n {4,3 n-3 ,4} {4,3 n-4 ,3 1,1 }	...

См. также

Литература

• H.S.M. Coxeter . Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8 .
  1. стр. 122–123, 1973. (Решётка гиперкубов γ _n образует кубические соты δ _n+1 )
  2. стр. 154–156: Частично усечённые или альтернированные, представленные префиксом h : h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={3 ^1,1 ,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
  3. стр. 296, Таблица II: Правильные соты, δ _n+1