G ₂ в математике — название трёх простых групп Ли (комплексной, вещественной компактной и вещественной разделённой), связанной с ними алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$ , а также нескольких алгебраических групп . Являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли , рангом 2 и размерностью 14, с точными нетривиальными конечномерными линейными представлениями . Всего G ₂ имеет два фундаментальных представления размерностью 7 и 14, первое из которых отвечает короткому корню системы корней G ₂ .

Компактная форма G ₂ является группой автоморфизмов алгебры октонионов (октав) , или подгруппой группы SO(7) , оставляющей на месте фиксированный 8-мерный спинор (в её спинорном представлении).

Реализации

Существуют 3 простые вещественные алгебры Ли, ассоционированные с данной системой корней :

• Лежащая в основе комплексной алгебры Ли G ₂ сугубо действительная алгебра Ли 28-мерна и односвязна. Комплексное сопряжение является её внешним автоморфизмом. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с этой алгеброй группы и есть компактная форма G ₂ .
• Алгебра Ли в компактной форме имеет размерность 14. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов , центра и является односвязной и компактной.
• Алгебра Ли в некомпактной (разделённой) форме содержит 14 измерений. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу 2 порядка, а её группа внешних автоморфизмов — тривиальная группа. Её максимальная компактная подгруппа — SU(2)×SU(2)/(−1×−1). Для данной группы существует неалгебраическая двойная универсальная накрывающая группа (односвязная).

Алгебраические свойства

Схема Дынкина

Система корней G ₂

Несмотря на то, что корневые векторы можно разместить в 2-мерном пространстве, более симметричным выглядит их выражение тремя координатами, сумма которых равна нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

и простые положительные корневые вектора

(0,1,−1), (1,−2,1).

Группа Вейля / Коксетера

Для алгебры G ₂ это — группа диэдра D ₁₂ 12 порядка.

Матрица Картана

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$

Специальные голономии

G ₂ — одна из тех специальных групп, которые могут быть группами голономии римановой метрики . Многообразия , обладающие G ₂ -голономией, называются G ₂ -многообразиями .

Ссылки

• John Baez , The Octonions , Section 4.1: G ₂ , . .