Interested Article - Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество $A$ топологического пространства $(X,\tau )$ , внутренность замыкания которого пуста ( $\operatorname {Int} {\bar {A}}=\varnothing$ ), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства $X$ .

Эквивалентно, множество $A\subseteq X$ является нигде не плотным в $X$ тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве $U$ можно найти непустое открытое множество $V$ , не пересекающееся с $A$ (то есть $V\subseteq U\setminus A$ ).

Свойства

Семейство ${\rm {NWD}}(X)$ всех нигде не плотных множеств пространства $X$ образуют подмножеств $X$ , то есть:

если $A,B\in {\rm {NWD}}(X)$ , то $A\cup B\in {\rm {NWD}}(X)$ ,

если $A\in {\rm {NWD}}(X)$ и $B\subseteq A$ , то $B\in {\rm {NWD}}(X)$ ,

$X\notin {\rm {NWD}}(X)$ .
Если $A\subseteq Y\subseteq X$ и $A$ является нигде не плотным в $Y$ ( $A\in {\rm {NWD}}(Y)$ где топология в $Y$ индуцированна от $X$ ), тогда $A\in {\rm {NWD}}(X)$ .
Пусть $A\subseteq Y\subseteq X$ и $Y$ — плотное подмножество в $X$ . Тогда $A\in {\rm {NWD}}(X)$ тогда и только тогда, когда $A\in {\rm {NWD}}(Y)$ .
Множество $A$ является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.